8a图13.1.4（a）电压源激题的开路传输线，（b）时间上相老90°的E和H(e）波长大于b的极限情况下的EQS场。图 13.1.5在开路终端K近，我电流带宽以及H，都越向于等。场，这隐含着边界条件①H.(0,t)=0(24)在左端，把电压源连接到平行板上的完纯导休的垂直部分要求其上的E，为零。我们在后面将证明，高次模式对平板间E的线积分没有负献。因此，就TEM场面言，要求有Va()-[B(-b,t)dr-B(-b,0)-a(25)例13.1.2开路的平行板传输线上的驻滤考虑平行板在=0处“开路”且在=处受电乐源激动，则边界条件为(26)H:(0,6)-0;B,(-b,t)-ReVaeist/a计算(10)及(11)式中的系数使满足边界条件(26)式，可给出(27)EVELLReost由此可得平板间的TEM场（10)及（11)式为H-RejraVan(28)cosptB,=RePe cusBse(29) 相位相差90°的不同时刻H和E的分布示于图13.1.4。驻波与前例所描述的相似，不同的是现在开路端的波峰是E而不是H。EQS极限在纸频极限下，波长比平板的长度要人得多，使得防≤1，由（28)及(29)式给出的场变火①存外部区域，场不受板的限制，肾此，在传输线的开路终端实际上有输射，丑这也不是由(24)式表示。如果板的闻距北波长小这种影顾是小的-+54
H,-Rej.aoge!(30)2ekd(31)在低赖区，场为电容器的场。电场是均勺的Ⅱ等于外加电压除以间隔长。磁场以线性变化的方式由开路端的零值增大到电源端的峰值。计算 z一b处的一H，给出面电流密度，从而得到由电压源所提供的电流。i-Reja,ebVaeiol(32)注意，这个表达式隐含着-CCbu(33)结果是极限特性的确为平行板电容器的特性EQS近似如何根据TEM场预测准静态场！如果是准静态的，我们希望系统是EQS。于是，电磁感应可忽骼不计，使得(3)式的右端近似等于零。(34)YR将该式积分,并利用式(26b)的边界条件,可得准静态 E(35)EL-这一结果本身又提供了安培定律中的位移电流密度，职(2)式的存端项。()(36)荧光灯短路器图13.1.6（a）1.75m长的平行平面金属板在左端由200MHZ的源微助因此，有灯光显示E2的时间平均值，（b）终端开路时（e)终端短路时。455
这一表这式的右端项与无是，对求积分并利用（26a）的达界条件计算积分常数”，给出H-esvat(37)对于开始在TEM波的描述中所果用的正弦电压激励，这一表达式与来用准静态近似斯得到的（30）式相一致演示13.1.1 驻波的形象化前面两个例子所描达的场的演示在图13.1.6中给出。一对薄金属板电极左端由振荡露激励，置于两电极之间的荧光灯用来显示均方根电场强度的分布。管中的气体被振荡的电场电离。气体中的电子通过场引起加速,达到足够大的速度以至相互的撞能导致电离及相应的光辐射。眼远不能跟上电场的迅速振萄所看到的是电场的时间平均响应F电场的量值，所以，观察到的零点之间的距离0.75m为平波长。可以推算出振荔器的颊率为为光正比f=0//=3×10/1.5=200MHz,因此，这一额率是较低的VHF电视频道的典型。将传输线右端短路，荧光灯靠近该端的部分证明电场确实且有图13.1.3b所预期的分布，即在短路端为零。类似琅，将右端开路，出现亮度的最大值表叫乾近该端电场最大，这与图13.1.4b所示的结果一致。从开路到短路状态，光强度峰值的位置，亦即电场强度的峰值位置，移动了入/413.2平行板间的二维模式本节论述求解如图13.2.1a所示的完纯导电平行板间的场的边值方法。来自对某一方向均勾的完纯导电结构（如平行线、同轴传输线以及空心完纯导体波导)中模式研究的大部分数学思想和物理内涵，都将用这个例子加此说明。在上一节中我们已经看到，平行板可用作支持 TEM波的传输线，在这节和下一节中，我们将看到平行板也能够志持其他模式的电磁波。因为结构是向均匀的，所以可施加激励使，场与无关。使结构在向近似均勾的一种途径在图13.2.1b中说明，其中平板间的区域变为具有相近半径的同轴导体构成的环形域。于是，径之差实质上成为间隙α并且：坐标变换为坐标，另一种途径是使平板宽度（方向的）远大子间隙a。那么平板的边缘场可忽略不计。不论哪种情况下，都可理解为场的激励在方向上均匀分图13.2.1(a)平行平面的完纯导电板。(b)在其中(a)的与布，现在可以假定场与无关。有关的场可以近似获得，，而无边综影响的同轴几何结构。因为场是二维的，所以我们可从12.6节给出的分类与关系式以及表12.8.3中的总结出发。由于平板位千坐标平面内，我们采用笛卡儿坐标系是合适的。场或者具有垂直于-平面的H和平行于2-y平面的E(TM)，或者具有平行子-平面的H而E垂直于α-平面(TE)。在这些情况下，可取H，和E，为函数，其他场分量均可由它们导出。我们考虑正弦稳态解，因此场可取如下形式H,-Re.(a,y)eio(1)E,--Reb,(r,)eio(2)· 456°
这些场分量分别满足表12.8.3中的亥姆覆茨方程(12.6.9)和(12.6.33)式，相关的场根据这些分量由表中的其他关系式给出。我们再次求亥姆霍茨方程的乘积解，假定其中H，和E,取X(t)Y(g)的形式。对于亥姆霍茨方程，这种将偏微分方程化为常微分方程的系统方法已在12.6节说明。这一次基于支配方程的系数与无关（为常数），我们采用更为成熟的方法。结果，Y()由常系数微分方程决定，这个方程将有指数解。因此，在，是一个尚待确定的常数（结果将有两个值)的条件下，我们假定解取特定的乘积形式H,-h(r)e-,(3) B,=e(r)e-ik)(4)下是表12.8.3中的场关系式变为TM场:2 +0.=-0(5) 其中=wue-碗esw-oth.(6)tn-素器(7)TE场:+0,=0(8)其中g(9)ha-le.南南浆(10)现在，边值问题具有我们所熟悉的5.5节中的典型形式。什么样的P和9值能使得与平板相切的电场为零呢?对 TM 场,平板上的e,=0,而根据(7)式,它是H.的导数,在板上必须为零,对于 TE场，E，在板上必须为零。因此，边界条件为TM场: (0)=0; d (a) =0 !(11)TE场:e,(0) = 0; e,(a) =0(12)为了检验所有的条件在边界上是否确实得到满足，要注意，如果(11)式满足，对 TM场,在边界上既无切向E又无法问H，（无论边界条件是否满足，均无法向H.）对于TE场，电场只有E，在边界上使E,=0确能保证 H0,正如(9)式中所能看到的。 457
要表示TM模式，式(5)的解应是sin(pa)和 cos(px)的线性组合，为满足z=0处的边界系件(11)式，我们必须选择cos(pr)。因此，要满足=a处的条件，应有p=Pa=n元/a,n=0,1,2,(13)h,cc coapar(14)Pa=RZ,n=0, 1,2,这些函数以及相关的p值分别称为本征函数和本征值，所得的解与r的关系，如图13.2.2a所示。根据式(5)给出的p的定义，对给定的频率の(出激励外加的)，可得与n次模式相关的波数h,为JVo'ue-(nx/a)"; μe>(nn/a)?(15)k,=±βaiβ,=(-jV(nila)"-o'μe;wμe<(nn/a)图 13. 2. 2 主要的场对的依激关系相似的推理给IH TE场的模式。式(8)的两个解中，满足=0处边界条件的解为 sin(qz)，第二个边界条件则要求9取一定的特征值9折egcosinAn16)I,(17)那么，E，对x的依赖关系如图13.2.2b所示。注意，0的情况排除在外，因为它意味着零幅解。对于TE场，由(17)式以及(8)式给出的9的定义可得①[V'μe-(nn/a); wμe>(nx/a)2hym±B;B.=(18)(-jV(nt/a)-w'ue; 0'μe<(nn/a)s一-股地，平板间的场是所有模式的线性组合。任模式稳加中，我们认为,=士β%。于是，引入将由恒定9值平面中的边界条件确定的系数，我们有如下的解。TM模①对达里断著虑的转殊几何形状，已证明本征值 2 和 4和向(除=0 外)。 当进界具有其他形状时,这种一数性不会出现。· 458