+na=ka+la 8)k(a+B)=ka+kB 在以上规则中,k,l等表示数域P中任意数;a,B,y等表示集合中任意元素 例3数域P上一元多项式环P[x],按通常的多项式加法和数与多项式的乘 法,构成一个数域P上的线性空间如果只考虑其中次数小于n的多项式,再添 上零多项式也构成数域P上的一个线性空间,用Px]n表示 例4元素属于数域P的m×n矩阵,按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法, 构成数域P上的一个线性空间,用Pmm表示 例5全体实函数,按函数加法和数与函数的数量乘法,构成一个实数域上 的线性空间 例6数域P按照本身的加法与乘法,即构成一个自身上的线性空间 例7以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R上的线性空间 1)平面上全体向量所作成的集合V,对于通常向量的加法和如下定义的纯 量乘法 ∈R,a∈p 2)R上n次多项式的全体所作成的集合W对于多项式的加法和数与多项式 的乘法 例8设V是正实数集,R为实数域.规定 a⊕B=aB(即a与B的积), (即a的a次幂), 其中a,B∈V,a∈R.则V对于加法⊕和数乘⊙作成R上的线性空间 二线性空间的简单性质 线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广 泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母a,B,y,…代 表线性空间V中的元素,用小写拉丁字母a,b,c,…代表数域P中的数
7) (k + l) = k + l ; 8) k( + ）= k + k; 在以上规则中， k,l 等表示数域 P 中任意数； , , 等表示集合 V 中任意元素. 例 3 数域 P 上一元多项式环 P[x] ,按通常的多项式加法和数与多项式的乘 法，构成一个数域 P 上的线性空间.如果只考虑其中次数小于 n 的多项式，再添 上零多项式也构成数域 P 上的一个线性空间，用 n P[x] 表示. 例 4 元素属于数域 P 的 mn 矩阵，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法， 构成数域 P 上的一个线性空间，用 m n P 表示. 例 5 全体实函数，按函数加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上 的线性空间. 例 6 数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成一个自身上的线性空间. 例 7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域 R 上的线性空间: 1) 平面上全体向量所作成的集合 V ,对于通常向量的加法和如下定义的纯 量乘法: a = 0,a R, V . 2) R 上 n 次多项式的全体所作成的集合 W 对于多项式的加法和数与多项式 的乘法. 例 8 设 V 是正实数集, R 为实数域.规定 = (即 与 的积), a ⊙ = a (即 的 a 次幂), 其中 , V,a R .则 V 对于加法⊕和数乘⊙作成 R 上的线性空间. 二 线性空间的简单性质 线性空间的元素也称为向量.当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广 泛得多.线性空间有时也称为向量空间.以下用黑体的小写希腊字母 , , , 代 表线性空间 V 中的元素，用小写拉丁字母 a,b, c, 代表数域 P 中的数
1.零元素是唯一的. 2.负元素是唯一的 3.0a=0,k0=0,(-1)a=-a. 4.如果ka=0,那么k=0或者a=0
1.零元素是唯一的. 2.负元素是唯一的. 3. 0 = 0;k0 = 0;(−1) = −. 4.如果 k = 0 ,那么 k = 0 或者 = 0
§3维数·基与坐标 、向量的线性相关与线性无关 定义2设V是数域P上的一个线性空间,a1,a2…a,(r≥1是V一组向 量,k1,k2,…k是数域P中的数,那么向量 a=ka1+k2a2+…+k,a 称为向量组a1,a2,…a的一个线性组合,有时也说向量a可以用向量组 a,a2…,a,线性表出 定义3设 21,C2,…,Or B1,B2…B, 是V中两个向量组,如果(1)中每个向量都可以用向量组(2)线性表出,那么 称向量(1)可以用向量组(2)线性表出.如果(1)与(2)可以互相线性表出, 那么向量组(1)与(2)称为等价的. 定义4线性空间V中向量ax1,a2…a(r≥1)称为线性相关,如果在数域P 中有r个不全为零的数k,k2,…k,使 k1a1+k2a2+…+k,an=0 如果向量a1,a2…a,不线性相关,就称为线性无关.换句话说,向量组 a2,a2…a称为线性无关,如果等式(3)只有在k1=k2=…k=0时才成立 几个常用的结论 1.单个向量a线性相关的充要条件是a=0.两个以上的向量a1,a2…an 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合. 2.如果向量组a1,a2…,a线性无关,而且可以被B13B2…B,线性表出, 那么r≤s 由此推出,两个等价的线性无关的向量组,必含有相同个数的向量
§3 维数·基与坐标 一、向量的线性相关与线性无关 定义 2 设 V 是数域 P 上的一个线性空间， r ,. , , 1 2 (r 1) 是 V 一组向 量, r k ,k , ,k 1 2 是数域 P 中的数，那么向量 r r = k11 + k2 .2 ++ k 称为向量组 r ,. , , 1 2 的一个线性组合，有时也说向量 可以用向量组 r ,. , , 1 2 线性表出. 定义 3 设 r ,. , , 1 2 ; (1) s , , . 1 2 (2) 是 V 中两个向量组，如果（1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出，那么 称向量（1）可以用向量组（2）线性表出.如果（1）与（2）可以互相线性表出， 那么向量组（1）与（2）称为等价的. 定义 4 线性空间 V 中向量 r ,. , , 1 2 (r 1) 称为线性相关，如果在数域 P 中有 r 个不全为零的数 r k ,k , ,k 1 2 ，使 k11 + k2 .2 ++ krr = 0 . (3) 如果向量 r ,. , , 1 2 不线性相 关，就称 为线 性 无关. 换句话说，向量组 r ,. , , 1 2 称为线性无关，如果等式（3）只有在 k1 = k2 =kr = 0 时才成立. 几个常用的结论： 1. 单个向量 线性相关的充要条件是 = 0 .两个以上的向量 r ,. , , 1 2 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合. 2. 如果向量组 r ,. , , 1 2 线性无关，而且可以被 s , , . 1 2 线性表出， 那么 r s . 由此推出，两个等价的线性无关的向量组，必含有相同个数的向量
3.如果向量组a,a2…,a线性无关,但a1,a2,…,a,B线性相关,那么B 可以由被a1,a2…,a,线性表出,而且表示法是唯一的 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量,显然是线性空间的 个重要属性 定义5如果在线性空间V中有n个线性无关的向量,但是没有更多数目的线性无 关的向量,那么V就称为n维的:如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量, 那么V就称为无限维的 定义6在n维线性空间V中,n个线性无关的向量E12E2,…,En称为V的一组 基.设a是V中任一向量,于是E1,E2…En,a线性相关,因此a可以被基 E1,E1,…,En线性表出: a=a11+a2E2+……+anE 其中系数a1,a2…an是被向量α和基s1,E2…,En唯一确定的,这组数就称为a在 基E1,E2…,En下的坐标,记为(a1a2…an) 由以上定义看来,在给出空间V的一组基之前,必须先确定V的维数 定理1如果在线性空间V中有n个线性无关的向量a1a2…an,且V中任 向量都可以用它们线性表出,那么V是n维的,而a1,a2…an就是V的一组 基 例1在线性空间Pxn中, Lx 是n个线性无关的向量,而且每一个次数小于n的数域P上的多项式都可以被它 们线性表出,所以Px]n是n维的,而1,x,x2,…,x2就是它的一组基 例2在n维的空间P中,显然
3. 如果向量组 r ,. , , 1 2 线性无关，但 1 ,.2 , , r , 线性相关，那么 可以由被 r ,. , , 1 2 线性表出，而且表示法是唯一的. 在一个线性空间中究竟最多能有几个线性无关的向量，显然是线性空间的一 个重要属性. 定义 5 如果在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无 关的向量，那么 V 就称为 n 维的；如果在 V 中可以找到任意多个线性无关的向量， 那么 V 就称为无限维的. 定义 6 在 n 维线性空间 V 中， n 个线性无关的向量 n , , , 1 2 称为 V 的一组 基.设 是 V 中任一向量，于是 1 , 2 , , n , 线性相关，因此 可以被基 n , , , 1 2 线性表出： a a an n = + ++ 1 1 2 2 . 其中系数 a a an , , , 1 2 是被向量 和基 n , , , 1 2 唯一确定的，这组数就称为 在 基 n , , , 1 2 下的坐标，记为 ( , , , ) a1 a2 an . 由以上定义看来，在给出空间 V 的一组基之前，必须先确定 V 的维数. 定理 1 如果在线性空间 V 中有 n 个线性无关的向量 n ,. , , 1 2 ，且 V 中任 一向量都可以用它们线性表出，那么 V 是 n 维的，而 n ,. , , 1 2 就是 V 的一组 基. 例 1 在线性空间 n P[x] 中， 2 1 1, , , , n− x x x 是 n 个线性无关的向量，而且每一个次数小于 n 的数域 P 上的多项式都可以被它 们线性表出，所以 n P[x] 是 n 维的，而 2 1 1, , , , n− x x x 就是它的一组基. 例 2 在 n 维的空间 n P 中，显然