章函数与极限 定义2若Iimf(x)=f(x。),则称函数y=f(x)在点x0连续 定义3VE>0,30>0,当|x-x0kd时,有f(x)-f(x0)kE,则称函数y=f(x)在点x 连续 1)单侧连续 若函数∫(x)在(a,x]内有定义,且∫(x)=f(x0),则称∫(x)在x0处左连续 若函数f(x)在[x0,b)内有定义,且∫(x)=f(x),则称f(x)在x0处右连续 2)连续的充要条件 定理f(x)在x处连续分∫(x)在x处既左连续又右连续 3)间断点的定义 函数f(x)在点x0处连续必须满足的三个条件 (1)f(x)在x。处有定义(2)Iimf(x)存在(3)limf(x)=f(x0) 如果上述三个条件中只要一个不满足,则称函数∫(x)在点x0处不连续(或间断),并称点x为 f(x)的不连续点(或间断点) 4)间断点的分类 第一间断点 /)在何可去间断点/)= 间断点 跳跃间断点( 第二间断点:无穷间断点振荡间断点等 ((n)/x座少有一个不存在) 5)闭区间的连续性 如果函数在开区间内(ab)连续,并且在左端点x=a处右连续,在右端点x=b处左连续,则称函 数∫(x)在区间{ab]上连续 6)连续函数的运算性质 定理1若函数f(x),8(x)在点x处连续,则f(x)+g(x),f(x)8(x),f(x(g(x)≠0) 在点x处也连续 定理2严格单调的连续函数必有严格单调的反函数 定理3若Iimp(x)=a,而函数f(x)在点a连续,则有limf[o(x)]=f(a)=f(lim(x))
第一章 函数与极限 定义 2 若 lim ( ) ( ) ，则称函数 0 o x x f x = f x → y = f (x) 在点 x0 连续 定义 3 ∀ε > 0,∃δ > 0 ，当| x − x0 |< δ 时，有| ( ) − ( )|< ε 0 f x f x ，则称函数 在点 连续 y = f (x) 0 x 1） 单侧连续 若函数 f (x) 在(a, x0 ]内有定义，且 f (x0 − ) = f (x0 ) ，则称 f (x) 在 x0 处左连续 若函数 f (x) 在[x0 ,b) 内有定义，且 f (x0 + ) = f (x0 ) ，则称 f (x) 在 x0 处右连续 2） 连续的充要条件 定理 f (x) 在 x0 处连续⇔ f (x) 在 x0 处既左连续又右连续 3） 间断点的定义 函数 f (x) 在点 x0 处连续必须满足的三个条件： （1） f (x) 在 x0 处有定义 （2） lim ( )存在 （3） 0 f x x→x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 如果上述三个条件中只要一个不满足，则称函数 在点 处不连续（或间断），并称点 为 的不连续点（或间断点） f (x) 0 x 0 x f (x) 4）间断点的分类 间断点 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = + − + − + − + − ( , ) : , ( ) ( ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 至少有一个不存在 第二间断点 无穷间断点 振荡间断点等 跳跃间断点 可去间断点 存在 第一间断点 f x f x f x f x f x f x f x f x 5） 闭区间的连续性 如果函数在开区间内（a,b）连续，并且在左端点 x=a 处右连续，在右端点 x=b 处左连续，则称函 数 f (x) 在区间[a,b]上连续 6） 连续函数的运算性质 定理 1 若函数 f (x) ，g(x) 在点 x0 处连续，则 f (x) ± g(x) ，f (x)⋅ g(x) ， ( ) ( ) g x f x （ g(x0 ) ≠ 0 ） 在点 x0 处也连续 定理 2 严格单调的连续函数必有严格单调的反函数 定理 3 若 x a x x = → lim ( ) 0 ϕ ，而函数 f (x) 在点 a 连续，则有 lim [ ( )] ( ) (lim ( )) 0 0 f x f a f x x x x x ϕ ϕ → → = = 5
章函数与极限 定理4设函数a=(x)在点x=x连续,且(x0)=0,而函数y=f(un)在点u=连续,则 复合函数y=「[(x)在点x=x0也连续 7)初等函数的连续性 定理1基本初等函数在定义域内是连续的 定理2一切初等函数在其定义区间内都是连续的 8)闭区间上连续函数的性质 定理1(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值 定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 定理3(零点定理)设函数∫(x)在闭区间[ab上连续,且f(a)与∫(b)异号(即f(a)·f(b)<0), 那么在开区间(ab)内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点5(a<5<b),使f()=0 定理4(介值定理)设函数∫(x)在闭区间[ab上连续,且在这区间的端点取不同的函数值 f(a)=A及f(b)=B,那么对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(ab)内至少有一点5, 使得∫(5)=c(a<5<b) 推论在区间上连续的函数必取得介于最大值M和最小值m之间的任何值 三.例题分析 1.函数的定义和性质 类型一函数相等的判断 例1.判断下列函数是否相等,如不等,为什么? (1)f(x)=1n1=x g(x)=ln(1-x)-(1+x) (2)f(x)=x,g(x)= 解题提示]:当且仅当给定的两个函数,其定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数,否 则就是两个不同的函数 解:(1)由于∫(x)和g(x)的定义域均为(-1,1)且对应法则也相同,故∫(x)=g(x) (2)由于f(x)=x,而g(x)=√x2=x|,故两者的对应法则不同,所以f(x)≠g(x) 类型二求函数的定义域 例2.设y=f(x)的定义域是[0,1,求 (1)y=∫(sgnx),其中sgnx为符号函数。即 0 sonx X<
第一章 函数与极限 定理 4 设函数u = ϕ(x) 在点 x = x0 连续，且 0 0 ϕ(x ) = u ，而函数 y = f (u) 在点 连续，则 复合函数 u = u0 y = f [ϕ(x)] 在点 x = x0 也连续 7） 初等函数的连续性 定理 1 基本初等函数在定义域内是连续的 定理 2 一切初等函数在其定义区间内都是连续的 8） 闭区间上连续函数的性质 定理 1（最大值最小值定理） 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值 定理 2（有界性定理） 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界 定理 3（零点定理）设函数 f (x) 在闭区间[a,b]上连续，且 f (a) 与 f (b) 异号（即 f (a)⋅ f (b) < 0）， 那么在开区间（a,b）内至少有函数 f (x) 的一个零点，即至少有一点ξ(a < ξ < b),使 f (ξ ) = 0 定理 4（介值定理）设函数 在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值 及 f (x) f (a) = A f (b) = B ，那么对于 A 与 B 之间的任意一个数 C，在开区间（a,b）内至少有一点ξ ， 使得 f (ξ ) = c(a < ξ < b) 推论 在区间上连续的函数必取得介于最大值 M 和最小值 m 之间的任何值 三．例题分析 1．函数的定义和性质 类型一 函数相等的判断 例 1．判断下列函数是否相等，如不等，为什么？ （1） , ( ) ln(1 ) (1 ) 1 1 ( ) ln g x x x x x f x = − − + + − = （2） 2 f (x) = x, g(x) = x [解题提示]：当且仅当给定的两个函数，其定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数，否 则就是两个不同的函数 解： （1）由于 f (x) 和 g(x) 的定义域均为（-1，1）且对应法则也相同，故 f (x) = g(x) （2）由于 f (x) = x ，而 ( ) | | 2 g x = x = x ，故两者的对应法则不同，所以 f (x) ≠ g(x) 类型二 求函数的定义域 例 2．设 y = f (x)的定义域是[0，1]，求 （1） y = f (sgn x) ，其中 sgn x 为符号函数。即 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − < = > = 1 0 0 0 1 0 sgn x x x x 6
章函数与极限 (2)y=f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域 解题提示]:求复合函数的定义域,要注意内层函数的值域必须包含在外层函数的定义域内 解:(1)易知当x≥0时,sgnx的值域包含在[0,1,故y=f(sgnx)的定义域为[0,+∞) (2)函数∫(x+a)的定义域由不等式0≤x+a≤1解得-a≤x≤1-a,函数∫(x-a)的定义 域由不等式0≤x-a≤1解得a≤x≤a+1 若0<a≤1,则a<1<1-a,函数f(x+a)+/(x-a)(a>0)的定义域为[a1-al 1 若a>,则1_0〃数f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域为为空集 类型三求复合函数和反函数 xsl 例3.设f(x)={1 xA>18()hx,求复合函数的解析式 f(8g(x)和g(f(x) [解题提示]:求复合函数一般采用代入法,即把一个函数的表达式代替另一个函数中的自变量 解:先研究g(x)=lnx的值域与定义域的关系 当x>e时,lnx>1;当0<x<e-时,lnx<-1;当e-<x<e时-1<lnx<l故 In'x Inx<1 f(g(x)=f(Inx)=1 In- e <x<e f(g(x)) x>e或0<x<e In' In 0<nx≤1 同理可得g((x)=lnf(x)= In x2 Inx <X< 例.求f(x)={x21≤x≤2的反函数 ln2x2<x≤4 解题提示]:求反函数的一般步骤为(1)把x从方程y=∫(x)中解出;(2)把第一步所得表达式 中的x与y对换,即得反函数 解:求分段函数的反函数,只要分别求出个区间段的反函数及定义域即可
第一章 函数与极限 （2） y = f (x + a) + f (x − a) (a > 0) 的定义域 [解题提示]：求复合函数的定义域，要注意内层函数的值域必须包含在外层函数的定义域内 解： （1）易知当 x ≥ 0时，sgn x 的值域包含在[0，1]，故 y = f (sgn x) 的定义域为[0,+∞) （2）函数 f (x + a) 的定义域由不等式0 ≤ x + a ≤ 1解得 − a ≤ x ≤ 1− a ，函数 的定义 域由不等式 解得 f (x − a) 0 ≤ x − a ≤ 1 a ≤ x ≤ a +1 若 2 1 0 < a ≤ ，则 a < ≤ 1− a 2 1 ，函数 f (x + a) + f (x − a) (a > 0) 的定义域为[a,1− a]； 若 2 1 a > ，则 2 1 1− a < ，函数 f (x + a) + f (x − a) (a > 0) 的定义域为为空集 类型三 求复合函数和反函数 例 3．设 ( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > ≤ = 1 1 1 2 2 x x x x f x ， g(x) = ln x ，求复合函数的解析式 f (g(x)) 和 g( f (x)) [解题提示]：求复合函数一般采用代入法，即把一个函数的表达式代替另一个函数中的自变量 解： 先研究 g(x) = ln x 的值域与定义域的关系 当 x > e 时，ln x > 1；当 时， 1 0 − < x < e ln x < −1；当e < x < e 时 −1 −1 < ln x <1故 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < = = ln 1 ln 1 ln ln 1 ( ( )) (ln ) 2 2 x x x x f g x f x 即： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ > < < < < = − − 1 2 2 1 0 ln 1 ln ( ( )) x e x e x x e x e f g x 或 同理可得 ⎩ ⎨ ⎧ − > < ≤ = = ln ln 1 ln 0 ln 1 ( ( )) ln ( ) 2 2 x x x x g f x f x 例 4．求 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ < ≤ ≤ ≤ − < < = 2 4 ln 1 1 2 2 1 ( ) 2 2 x x x x x x f x 的反函数 [解题提示]：求反函数的一般步骤为（1）把 x 从方程 y = f (x)中解出；（2）把第一步所得表达式 中的 x 与 y 对换，即得反函数 解： 求分段函数的反函数，只要分别求出个区间段的反函数及定义域即可 7
章函数与极限 由y=x,-2<x<1可得x=y,-2<y<1于是反函数为y=x,-2<x<1,由y=x2, 1≤x≤2得x=√y,1≤y≤4,于是反函数为y=√x1≤x≤4,由y=2<x≤4可得 x=log2,4<y≤16,于是反函数为y=log24<x≤16,故所求函数的反函数为 y={√x1≤x≤4 24<x≤16 类型四函数的性质 例5.判断下列函数的奇偶性 (1) x2+3(x>0) (2)y=F(x)+)其中a>0,a≠1,F(x)对于任何x,y恒有F(x+y)=F(x)+F(y) 解题提示 ①判断给定函数的奇偶性,主要是根据奇偶性的定义,有时也用其运算性质 ②函数的奇偶性是相对于对称区间而言的,若定义域关于原点不对称,则该函数就不具有奇偶性 ⑥奇偶函数的运算性质: 10奇函数的代数和仍为奇函数:偶函数的代数和仍为偶函数 20偶数个奇(或偶)函数的积为偶函数 30一奇函数与一偶函数的乘积为奇函数 ④并非所有的函数都有奇偶性 解:1)f(x)定义域为x>0,不关于原点对称,故函数无奇偶性 2)令g(x)=一 则g(x)+g( x)= ×人 0∴g( g(x),g(x 为奇函数,又令y=0,则F(x+0)=F(x)+F(0),再令x=0,则F(0)=2F(0)∴F(0)=0, 又F(0)=F[x+(-x)]=F(x)+F(-x)=0→F(-x)=-F(x)故F(x)为奇函数,所以 y=F(x)o )为偶函数 例6.当x∈[0,z]时,f(x)≠0且f(x+x)=∫(x)+inx则在(-∞,+∞)内∫(x)是() (a)以丌为周期的函数 (b)以2x为周期的函数 (c)以3丌为周期的函数 (d)不是周期函数 [解题提示]:
第一章 函数与极限 由 y = x ， − 2 < x < 1可得 x = y ，− 2 < y < 1于是反函数为 y = x ， − 2 < x < 1，由 ， 得 2 y = x 1 ≤ x ≤ 2 x = y ，1 ≤ y ≤ 4 ，于是反函数为 y = x,1 ≤ x ≤ 4 ，由 可得 ， ，于是反函数为 ，故所求函数的反函数为 y = 2 ,2 < x ≤ 4 x y x 2 = log 4 < y ≤ 16 log ,4 16 y = 2 < x ≤ x ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≤ ≤ ≤ − < < = log 4 16 1 4 2 1 2 x x x x x y x 类型四 函数的性质 例 5．判断下列函数的奇偶性 （1） 3 2 y = x + （ x > 0） （2） ) 2 1 1 1 ( )( + − = x a y F x 其中 a > 0 ，a ≠ 1，F(x)对于任何 x, y 恒有 F(x + y) = F(x) + F(y) [解题提示]： ○1 判断给定函数的奇偶性，主要是根据奇偶性的定义，有时也用其运算性质 ○2 函数的奇偶性是相对于对称区间而言的，若定义域关于原点不对称，则该函数就不具有奇偶性 ○3 奇偶函数的运算性质： 0 1 奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数 0 2 偶数个奇（或偶）函数的积为偶函数 0 3 一奇函数与一偶函数的乘积为奇函数 ○4 并非所有的函数都有奇偶性 解： 1） f (x) 定义域为 x > 0，不关于原点对称，故函数无奇偶性 2）令 2 1 1 1 ( ) + − = x a g x 则 0 2 1 2 1 1 1 1 ( ) ( ) + = − + + − + − = x x x a a a g x g x ∴ g(−x) = −g(x), g(x) 为奇函数，又令 y = 0，则 F(x + 0) = F(x) + F(0)，再令 x = 0，则 F(0) = 2F(0) ∴F(0) = 0， 又 F(0) = F[x + (−x)] = F(x) + F(−x) = 0 ⇒ F(−x) = − F(x)故 F(x)为奇函数，所以 ) 2 1 1 1 ( )( + − = x a y F x 为偶函数 例 6．当 x ∈[0,π ]时， f (x) ≠ 0 且 f (x +π ) = f (x) + sin x 则在(−∞,+∞) 内 f (x) 是（ ） （a）以π 为周期的函数 （b）以2π 为周期的函数 （c）以3π 为周期的函数 （d）不是周期函数 [解题提示]： 8
①判断给定的函数∫(x)是否为周期函数,主要是根据周期的定义,有时也用其运算性质 Q周期函数的运算性质: 1°若T为f(x)的周期,则f(ax+b)的周期为 2f(x),g(x)均是以T为周期的函数则f(x)±g(x)也是以T为周期的函数 3°若f(x),g(x)分别是以T1,2(T≠T2)为周期的函数,则f(x)±g(x)是以T,T2的最小 公倍数为周期的函数 解:有题设条件f(x+丌)≠f(x),所以(a)不入选 f(x+2丌)=f(x+丌)+z]=f(x+丌)+sin(x+x)=[f(x)+snx]-sinx=f(x) f(x)是以2丌为周期的函数,故选(b) 例7.指出下列函数是否有界? (1) ,a≤x≤1,其中0<a<1 (2)y= X COSX,x∈(-∞,+∞) 解题提示] ①函数f(x)有无界是相对于某个区间而言的 Q分辨无界函数与无穷大量不是一回事 ⑥同一区间上有界函数的和,差,积仍为该区间上的有界函数 解:(1)因为a≤x≤1,且0<a<1,所以 因此当x∈[a,]时 有界 (2)m>0,取x=(2[m]+1)x(其中[m]表示m的整数部分),则cosx=-1此时 f(x)H2([m]+1)x:cos(2[m]+1)z=2(m]+1)r>m故当x∈(-∞.+∞)时y= x cosx无界 2.极限的概念,性质与计算 类型五利用数列极限的定义证明极限 例8.用 的方法证明lin
第一章 函数与极限 ○1 判断给定的函数 f (x) 是否为周期函数，主要是根据周期的定义，有时也用其运算性质 ○2 周期函数的运算性质： 0 1 若 T 为 f (x) 的周期，则 f (ax + b)的周期为 | a | T 0 2 f (x) ， g(x) 均是以 T 为周期的函数则 f (x) ± g(x)也是以 T 为周期的函数 0 3 若 f (x) ，g(x) 分别是以 , ( ) T1 T2 T1 ≠ T2 为周期的函数，则 f (x) ± g(x) 是以 的最小 公倍数为周期的函数 1 2 T ,T 解： 有题设条件 f (x +π ) ≠ f (x) ，所以(a)不入选 ∵ f (x + 2π) = f[(x + π) + π ] = f (x + π ) + sin(x + π) = [ f (x) + sin x] − sin x = f (x) ∴ f (x) 是以 2π 为周期的函数，故选(b) 例 7．指出下列函数是否有界？ （1） , 1 1 2 = a ≤ x ≤ x y ，其中0 < a < 1 （2） y = x cos x, x ∈(−∞,+∞) [解题提示]： ○1 函数 f (x) 有无界是相对于某个区间而言的 ○2 分辨无界函数与无穷大量不是一回事 ○3 同一区间上有界函数的和，差，积仍为该区间上的有界函数 解： （1）因为 a ≤ x ≤1，且 0 < a < 1，所以 1故 2 2 a ≤ x ≤ 2 2 1 1 1 x a ≤ ≤ ，因此当 x ∈[a,1]时 2 1 x y = 有界 （ 2 ） ∀m > 0 ， 取 x = (2[m] +1)π （其中 [m] 表 示 m 的 整 数 部分）， 则 cos x = −1 此 时 | f (x) |=| 2([m] +1)π ⋅ cos(2[m] +1)π |= 2([m] +1)π > m 故当 x ∈(−∞.+ ∞) 时 y = x cos x 无界 2．极限的概念，性质与计算 类型五 利用数列极限的定义证明极限 例 8．用“ε − N ”的方法证明 0 3 lim 2 = n − n 9