注 ①Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导 区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件 如：y=x2在[-1,2]上满足(1)，(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点x=0使 yx=0=2xx=0=0 但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。 例如，y=x,x∈-2,2]；
注 ① Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导 区间端点处的函数值相等； 这三个条件只是充分条件，而非必要条件 如：y=x 2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3) 却在(-1,2)内有一点 x=0 使 y x=0 = 2x x=0= 0 但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立 三个条件缺一不可。 例如, y = x , x[−2,2];
在-2,2]上除f'(0)不存在外，满足罗尔定理的 一切条件，但在内找不到一点能使f'(x)=0. 又例如，f(x)=1-x,x∈(0,1，f(0)=0; 在0,1山上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的 一切条件但在内找不到一点能使f'(x)=0. 再例如f(x)=x,x∈I0,1。 在0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔 定理的一切条件但也找不到使f'(x)=0的点. ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；
, [ 2,2] (0) , 一切条件 在 − 上除f 不存在外 满足罗尔定理的 但在内找不到一点能使f (x) = 0. 又例如, f (x) = 1− x, x (0,1], f (0) = 0; 在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的 一切条件 但在内找不到一点能使f (x) = 0. 再例如 f (x) = x, x [0,1]. 在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔 定理的一切条件 但也找不到使f (x) = 0的点. ②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数 等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；
另外还要注意点并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点， 如f(x)=xln(x+2) 在-1,01上满足罗尔定理的全部条件，而 f(x)=x +ln(x+2) x+2 但却不易找到使f'(x)=0的点ξ 但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用
另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定 的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点， 如 f (x) = xln( x + 2) 在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而 ln( 2) 2 ( ) + + + = x x x f x 但却不易找到使 f (x) = 0的点 但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们 将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用
例1证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于 1的正实根， 证设f(x)=x5-5x+1, 则f(x)在0,1连续， 且f(0)=1,f(1)=-3. 由介值定理 3x∈(0,1)，使f(x)=0.即为方程的小于1的正实根， 设另有x1∈(0,1)，x1≠x0,使f(x1)=0. :f(x)在xo,x,之间满足罗尔定理的条件 .至少存在一个5（在，x,之间），使得 但f'(x)=5(x4-1)<0,(x∈(0,1)矛盾，.为唯一实根
例1 1 . 5 1 0 5 的正实根 证明方程 x − x + = 有且仅有一个小于 证 ( ) 5 1, 5 设 f x = x − x + 则 f (x)在[0,1]连续, 且 f (0) = 1, f (1) = −3. 由介值定理 (0,1), ( ) 0. x0 使 f x0 = 即为方程的小于1的正实根. (0,1), , 设另有 x1 x1 x0 ( ) 0. 使 f x1 = ( ) , , f x 在 x0 x1 之间满足罗尔定理的条件 至少存在一个 (在 x0 , x1 之间),使得 ( ) 5( 1) 4 但 f x = x − 0, (x (0,1)) 矛盾, 为唯一实根
例2证明e-(x2+bx+c)=0至多有三个实根 证记f(x)=e-(ax2+bx+c) 直接证明有困难，采用反证法 设f(x)=0有四个实根x1<x2<x,<x4 记f(x)=e*-(ax2+bx+c)连续、可导 对f(x)在x1,x2,2,3,x3,x4用罗尔定理得 x1<51<X2<52<X3<53<X4 使f'(5)="(52)='(5)=0 f'(x)=e*-2ax-b连续、可导 对f'(x)在[51,521,52,53」用罗尔定理得
例2 证明 ( ) 0 2 e − ax + bx + c = x 至多有三个实根 证 ( ) ( ) 2 f x e ax bx c x 记 = − + + 直接证明有困难，采用反证法 设 f (x) = 0 有四个实根 x1 x2 x3 x4 ( ) ( ) 2 f x e ax bx c x 记 = − + + 连续、可导 对 f (x) [ , ],[ , ],[ , ] 在 x1 x2 x2 x3 x3 x4 用罗尔定理得 x1 1 x2 2 x3 3 x4 使 f ( 1 ) = f ( 2 ) = f ( 3 ) = 0 f x e ax b x ( ) = − 2 − 连续、可导 对 f (x) [ , ],[ , ] 在 1 2 2 3 用罗尔定理得