子空间的概念6.2.1设V是数域F上一个向量空间，W是V的一个非空子集.对于W中任意两个向量α，β，它们的和α+β是V中一个向量.一般说来，α+β不一定在W内如果W中任意两个向量的和仍在W内，那么就说，W对于V的加法是封闭的.同样，如果对于W中任意向量α和数域F中任意数a，aa仍在W内，那么就说，W对于标量与向量的乘法是封闭的理学院数学系
理学院数学系 设V是数域F上一个向量空间，W是V 的一个非空子 集.对于W 中任意两个向量α，β，它们的和α+β是 V中一个向量. 一般说来，α+β不一定在W 内. 如果W中任意两个向量的和仍在W内，那么就说，W 对于V的加法是封闭的. 同样，如果对于W中任意向量 α和数域F中任意数a，aα仍在W内，那么就说，W 对于标量与向量的乘法是封闭的
定理6.2.1设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W对于V的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么W本身也作成F上一个向量空间定义1令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W对于V的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的那么就称W是V的一个子空间由定理6.2.1，V的一个子空间也是F上一个向量空间并且一定含有V的零向量理学院数学系
理学院数学系 设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么W本 身也作成F上一个向量空间. 令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对 于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的， 那么就称W是V 的一个子空间. 由定理6.2.1，V的一个子空间也是F上一个向量空间， 并且一定含有V的零向量
例1向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单独一个零向量所成的集合0显然对于V的加法和标量与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间称为零空间。一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间V的非平凡子空间叫做V的真子空间例2U=(A=(aj)E Mn(F)laü =0,i>j时)是不是Mn(F)的子空间？W=(AEMn(F)AO)是不是M,(F)的子空间？理学院数生
理学院数学系 例1 向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单 独一个零向量所成的集合{0}显然对于V的加法和标 量与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间， 称为零空间。 一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。 V的非平凡子空间叫做V的真子空间。 例2 是不是 的 子空间？ 是不是 的子空间？ U {A (a ) M (F) | a 0,i j时} ij n ij M (F) n W {A M (F)| A | 0} n M (F) n
解U中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量空间M,(F)的非空子集。又中M,(F)的运算是矩阵的加法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义，U是M,(F)的一个子空间。W=(AEM,(F)IIA}O)不是 M,(F)的子空间，因为n阶单位矩阵I及-IEW，但I+（-I)=OW例3在空间V,里，平行于一条固定直线的一切向量空间作成V,的一个子空间。在空间V,里，平行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别作成V，的子空间（6.1,例1）理学院数学系
理学院数学系 解 U中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量空间 的非空子集。又中 的运算是矩阵的加 法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一 个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘 积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U 是 的 一个子空间。 M (F) n M (F) n M (F) n 不是 的子空间，因 为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但 W {A M (F) | | A | 0} n M (F) n I (I) O W 在空间V2里，平行于一条固定直线的一切 向量空间作成V2的一个子空间。在空间V3里，平 行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别 作成V3的子空间(6.1,例1)。 例3
例4Fn中一切形如(ai,a2,..-,an-1,O),a, E F的向量作成Fn的一个子空间。例5F[x中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连同零多项式一起作成Fx的一个子空间。例6闭区间[a,b]上一切可微分函数作成C[a,b的一个子空间理学院数学系
理学院数学系 n F 中一切形如 (a1 ,a2 ,,an1 ,0),ai F 的向量作成 F n的一个子空间。 例5 F [x]中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连 同零多项式一起作成F [x]的一个子空间。 例6 闭区间[a,b]上一切可微分函数作成C [a,b]的一个子空间