由第一类曲面积分的定义 f(x, y, z)ds=lim ∑f(5,m,)A 1→>0 将曲面分割成n个小曲面块,在第个曲面块△∑上取 点(2,n,),在xoy平面上的投影 (51,7 为△D;,则 △S +2(x,v)+22(x vdo l (5,n 由积分中值定理, J x△D
由第一类曲面积分的定义 0 1 ( , , ) l i m ( , , ) . n i i i i i f x y z ds f s λ ξ η ζ → Σ = = ∑ ∆ ∫∫ ( ξi i , , η ζ i) x y z o 将曲面分割成 n个小曲面块，在第 i个曲面块 ∆ Σi上取 点 ( ξi, ηi, ζi )，在xoy平面上的投影 为 ∆ Di，则 ∆ Σi 2 2 1 ( , ) ( , ) i i x y D S z x y z x y d σ ∆ ∆ = + + ∫∫ ( ξi i ,η ) 由积分中值定理， ∆Di
△S=√1+=(52m)+=2(5m)△a 注意到(5,m)(5m)均为小闭区域△D中的点,因而 ∑f(5,m,5)△S =∑/5,m,(,n)V+=2(51m)+=(5n)A0 由条件,函数xy(x,yy1+=(xy)+=3(x,y) 在闭区域上连续,则当λ->0时,上式右端的极限与
2 2 1 ( , ) ( , ) , i x i i y i i ∆ = S z + ξ′ ′ η ξ + z ′ ′ η ∆σ 注意到 (ξi i , , η ξ ) ( i i ′,η′) 均为小闭区域∆Di中的点，因而 1 2 2 1 ( , , ) [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) n i i i i i n i i i i x i i y i i i f s f z z z ξ η ζ ξ η ξ η ξ η ξ η σ = = ∆ = + + ′ ′ ′ ′ ∆ ∑ ∑ 由条件，函数 2 2 [ , , ( , )], 1 ( , ) ( , ) x i y f x y z x y + + z x y z x y 在闭区域上连续，则当λ→0时，上式右端的极限与
∑/5,n,(5,)+=3(5,m)+=3(5,m)A0 的极限相等,而由条件,上式的极限是存在的,并且 为上面函数的二重积分,即 ∫(xy2=mn/( lm>/5,1,(5,m)1+2(5,n)+(5,n)A0 ∫0,n,5,n)小+=2(+(5,n
2 2 1 [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) n i i i i x i i y i i i f z ξ η ξ η z ξ η z ξ η σ = ∑ + + ∆ 的极限相等，而由条件，上式的极限是存在的，并且 为上面函数的二重积分，即 0 1 2 2 0 1 2 2 ( , , ) lim ( , , ) lim [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) [ , , ( , )] 1 ( , ) ( , ) . n i i i i i n i i i i x i i y i i i i i i i i x i i y i i D f x y z ds f s f z z z f z z z d λ λ ξ η ζ ξ η ξ η ξ η ξ η σ ξ η ξ η ξ η ξ η σ → Σ = → = = ∆ = + + ∆ = + + ∫∫ ∑ ∑ ∫∫
例求1』xy其中x:=√R=x=y 解 R R 2 R +2+2 2 R-x-y R x y do D R
例1 求 其中 。 2 2 x y ds Σ ∫∫ 2 2 2 Σ:z = − R x − y 解 2 2 2 2 , , x y x y z z R x y R x y − − ′ ′ = = − − − − 2 2 2 2 1 , y y R z z R x y + + ′ ′ = − − 2 2 2 2 2 2 D R x y ds x y d R x y σ Σ = − − ∫∫ ∫∫