矩阵A1的3个圆盘为 19 E1:-4≤1,E2:|≤,E3:+4≤8 这3个圆盘都是孤立圆盘 每一个圆盘都包含A的一个特征值,且有 19 19 3≤A1≤5, 58≤A3≤-2.2
矩阵 A1 的 3 个圆盘为 E1 : − 4 1, 9 19 : E2 , E3 : + 4 1.8 这 3 个圆盘都是孤立圆盘. 每一个圆盘都包含 A 的一个特征值,且有 3 1 5, 9 19 9 19 − 2 , − 5.8 3 −2.2
特征值的误差问题 定理85( Bauer-Fike定理)对于n阶矩阵A=(an)mx”, 若存在n阶非奇异阵H,使得 HAH=A=g(不,12…,n), 则有 mim|2-4|≤|H2|Hr|El 8.5) k<i<n 其中是矩阵A+E的一个特征值而A2(i=1,2,…,n)为 A的特征值,P=1,2,∞ 证P179
定理 8.5 (Bauer-Fike 定理) 对于n 阶矩阵 A = aij nn ( ) , 若存在 n阶非奇异阵 H ,使得 = − H AH 1 ( , , , ) = diag 1 2 n , 则有 i p p p i n H H E 1 1 min − − (8.5) 其中 是矩阵 A + E 的一个特征值,而i (i = 1,2, , n )为 A 的特征值, p = 1,2, . 二、特征值的误差问题 证 P.179
82幂法与反幂法 、幂法原理 幂法是计算一个矩阵的主特征值及其相应的 特征向量的一种迭代法,特别适用于大型稀疏矩阵. 1.单根情形 设n阶实矩阵A的n个特征值满足 (86) 特征值1称为主特征值,对应的特征向量x1 称为主特征向量
幂法是计算一个矩阵的主特征值及其相应的 特征向量的一种迭代法，特别适用于大型稀疏矩阵. 一、幂法原理 8.2 幂法与反幂法 设 n 阶实矩阵 A 的 n 个特征值满足 1 2 3 n （8.6） 特征值1 称为主特征值，对应的特征向量 1 x 称为主特征向量. 1. 单根情形
设n阶实矩阵A有完备的特征向量系,即 有n个线性无关的特征向量 对任给的非零向量vo∈R",用矩阵A连续左乘 基思想 构造迭代公式 由假设知v=∑a1x,(ax1≠0) 用A左乘两边得v1=A=∑a1Ax1=∑a1
设n阶实矩阵 A 有完备的特征向量系，即 有n个线性无关的特征向量. 对任给的非零向量 n v 0 R ，用矩阵 A 连续左乘， 构造迭代公式. 由假设知 = = n i i xi v 1 0 ( 0) 1 . 用 A 左乘两边得 = = = = = n i i i i n i v Av i Axi x 1 1 1 0 基本思想
设v0是任意一个n维非零向量,则v可以唯一地表示为 V=c1X1+a2x+…a,x 令 Avk1(k=1,2,),则有 k Av A-y k k-1 k-2 A"v=a11x1+a22x2+…+ k+1 +1 +1 A1x1+ x十+C n k+1 k+1 n、k+1 ax, +a. x十…+C, (8.8)
设 0 v 是任意一个 n 维非零向量，则 0 v 可以唯一地表示为 x x n xn v0 =1 1 + 2 2 ++ 令 k = Avk−1 v (k = 1,2, ) , 则有 2 0 2 1 v Av A v A v k k = k− = k− = = = n k n n k k 1 1 x1 + 2 2 x2 ++ x n k n n k k vk x x x 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 + + + + = + ++ ( ( ) ( ) ) 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 n n k n k k x x x + + + = + + + ……(8.8)