预备知识 定义8.1设A=(an)∈R"",若数几和H维非零列向量 x使方程组 Ax=ax (81)成 则称λ为方阵A的特征值,x称为A的对应于特征值λ的 特征向量. 特征值是方程A-M=0,即 22+a12n1+…an12+an=0的根.。 齐次方程组(A-A)x=0的非零解 为λ对应的特征向量
定义 8.1 设 A = ( ) aij n n R ，若数 和 n 维非零列向量 x 使方程组 Ax = x （8.1） 成立， 则称 为方阵 A 的特征值， x 称为 A 的对应于特征值 的 特征向量. 特征值是方程 A− I = 0，即 1 0 1 + 1 + − + = − n n n n a a a 的根. 齐次方程组 (A − I)x = 0 的非零解 为 对应的特征向量. 求解困难 预备知识
特征值的 定理81设A的特征值为1,12,…,几n,则 一些结果 ①A+2+…+n=a1+a2+…+an ②A42…n=4 定理82设A的特征值为,且Ax=A,x≠0,则 ①-p为A-pⅠ的特征值; ②为A2的特征值; ③设A为非奇异矩阵,则λ≠0,且为A-的特征值
定理 8.1 设 A 的特征值为 n , , , 1 2 ，则 ① 1 + 2 ++ n = a11 + a22 ++ ann ； ② 1 2 n = A . 定理 8.2 设 A 的特征值为 ，且 Ax = x， x 0 ，则 ① − p 为 A − p I 的特征值； ② 2 为 2 A 的特征值； ③ 设 A 为非奇异矩阵，则 0 ，且 1 为 −1 A 的特征值. 特征值的 一些结果
81特征值估计与扰动 、特征值的估计 若A4为n阶矩阵A的任何一种矩阵范数,则 定理83n阶矩阵A=(an)mn的任何一个特征值 盘定理 必属于复平面上的n个圆盘的并集: 1,2,…,n(8.4) J=1,J≠l 证P178
若 A 为 n阶矩阵 A 的任何一种矩阵范数,则 i A , i = 1,2, , n 一、特征值的估计 8.1 特征值估计与扰动 定理 8.3 n 阶矩阵 A = aij nn ( ) 的任何一个特征值 必属于复平面上的n 个圆盘的并集: { } 1, = = − n j j i i aii aij D z z , i = 1,2, , n (8.4) 证 P.178 圆盘定理
注:利用相似矩阵性质,有时可以获得A的特征值 进一步的估计 定理84若式(84)中的m个圆盘形成一个连通区域D 且D与其余n-m个圆盘不相连,则D中恰有A的m个 特征值
注: 利用相似矩阵性质,有时可以获得 A 的特征值 进一步的估计. 定理 8.4 若式(8.4)中的m 个圆盘形成一个连通区域 D , 且 D 与其余 n −m个圆盘不相连,则 D 中恰有 A 的 m 个 特征值
410 例81估计矩阵A=10 的特征值范围 解A的3个圆盘为 D1:-4≤1,D2:|2≤2,D3:|λ+4≤2 孤立 圆盘D内恰好包含A的一个特征值λ1:3≤A≤5 进一步估计:选取对角矩阵D1=diag(,0.9) 10 作相似变换A→A1=DAD 0.90.9-4
例 8.1 估计矩阵 − = − 1 1 4 1 0 1 4 1 0 A 的特征值范围. 解 A 的 3 个圆盘为 : D1 − 4 1, : D2 2 , : D3 + 4 2 孤立 圆盘 D1 内恰好包含 A 的一个特征值1 : 3 1 5 进一步估计: 选取对角矩阵 (1,1,0.9) 1 D = diag − 作相似变换 A A D AD 1 1 − → = − = − 0.9 0.9 4 9 10 1 0 4 1 0