方法2.截面法(“先二后一”) ∈ a<zsb 以D为底,d为高的柱形薄片质量为 f(x,y, z)dxdy)dz 该物体的质量为 面密度≈ f(x,y, z)d f(x,y, 2)dz b D f(x,y, z)dxd y)d 记作rb d f(, y, z)dxdy D Q团p
a b 方法2. 截面法 (“先二后一”) 以Dz 为底, dz为高的柱形薄片质量为 x y z 该物体的质量为 ( = b a DZ f (x, y,z)d xd y DZ b a dz f (x, y,z)dxdy z Dz f (x, y,z)d z 面密度≈ )dz 记作
方法3.三次积分法 (x,y)≤z≤2(x,y) 设区域Ω (x,y)∈D./n1(x)sy≤y2(x) qsx≤ b 利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得 「[Af(x,y,)dv D2(x y) dx f(, y, z)dz y1(x) 1(x,y) 投影法 二)(x f(r,y, z)dv=ll dxdy f(, y, z)dz Q团p
投影法 方法3. 三次积分法 设区域 : 利用投影法结果, a x b y x y y x x y D ( ) ( ) ( , ) : 1 2 ( , ) ( , ) 1 2 z x y z z x y 把二重积分化成二次积分即得: = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z ( ) ( ) 2 1 d y x y x y = b a dx
当被积函数在积分域上变号时,因为 f(,y, z) f(x,y, 2)+f(x,y,)f(x,y, z)-f(x,y, z) =f1(x,y,z)-/2(x,y,z) 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算. Q团p
当被积函数在积分域上变号时,因为 f (x, y,z) 2 f (x, y,z) − f (x, y,z) − ( , , ) 1 = f x y z ( , , ) 2 − f x y z 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算. 2 f (x, y,z) + f (x, y,z) =
小结:三重积分的计算方法 方法1.“先一后二” f(x,y,z)dv (as)a=yapp a f(r,y, z)dz (x,y) 方法2.“先二后一” f(x,y, z)dv=d f∫( x。V,2)dxdv JJD 方法3.“三次积分” ∫(cdv= dx d y f(, y, z)d y1(x) =1(x,y) 三种方法(包含1种形式各有特点,具体计算 时应根据被积函数及积分域的特点灵活选择 Q团p
小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分” = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z = DZ b a d z f (x, y,z)dxdy = ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 d d ( , , )d z x y z x y y x y x b a x y f x y z z 三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算 时应根据被积函数及积分域的特点灵活选择