Beijing Jiaotong MniversityT杆件应变能的计算nstitutcolEnginceningMechanics3、(纯)弯曲应变能M?1MII0=W一mo-一EIC22EImR(M恒定)M(x)dxV(M变化)82EImod==（应变能密度）082Eydv=0a0
Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 2 2 M l EI = 1 2 VW m ε = = θ EI Ml θ = 2 ( ) l 2 M x dx V EI ε = ∫ 杆件应变能的计算 3、(纯)弯曲应变能 (M恒定) (M变化) (应变能密度) 0 v d ε ε = σ ε ∫ 1 2 = σε V V v ε ε = ∫ dV τ τ σ σ
Beijing Jiaotong niversityT杆件应变能的计算TstituteolEngiucnindMechanic统一公式：V.=W:FSF一广义力=一28一广义位移SF拉压AFN扭转T9弯曲0M
Beijing Jiaotong University 杆件应变能的计算 Institute of Engineering Mechanics Vε W Fδ 2 1 = = F —广义力 δ —广义位移 统一公式： F δ 拉压 FN ∆l 扭转 T ϕ 弯曲 M θ
Beijing Jiaotong niversityT杆件应变能的计算TstitutcolEngiucnindMechanic非线性弹性：WFdS=VW=dw:CSP=MpW余功台余能FW.=SdF =Vdg8810aq161Vcade二VsJo6V?dg=Vc0Jo818de
Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 非线性弹性: 1 1 0 0 W WF d d δ δ = = δ ∫ ∫ 杆件应变能的计算 1 0 d F W F c = δ ∫ 余功 ⇔ 余能 dW=Fd δ F F1 F d δ O δ 1 δ 1 W Wc dε σ O σ σ1 ε 1 ε ∫ = 1 0 d ε vε σ ε =Vε =Vc 1 0 vc d σ = ε σ ∫ vε vc
Beijing Jiaotong MniversityT杆件应变能的计算InstituteolEnginceningMechanic应变能的普遍表达式F3FF1设广义力F,F2,F.作用2于物体，且按同一比例从零83增长到终值，相应地物体产d生变形8,,.….。对于线性弹性材料，变形也将按相同比例增加。则应变能：1F.F,S,so=W=F, +X+3222（克拉贝依隆原理）（应变能是力或位移的二次齐次函数
Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics 应变能的普遍表达式 F1 F3 F2 δ1 δ2 δ3 设广义力F1, F2 , F3 .作用 于物体，且按同一比例从零 增长到终值，相应地物体产 生变形δ 1, δ 2, δ 3 .。对于线 性弹性材料，变形也将按相 同比例增加。则应变能： 11 2 2 3 3 11 1 22 2 VW F F F ε == + + + δδδ （克拉贝依隆原理） 杆件应变能的计算 （应变能是力或位移的二次齐次函数）