若(X,Y)为连续型随机变量 且分布密度为p(x,y), 则E(X)=「xp(x,y)dd,E()=「yp(x,y)h, roy xoy E(X2)=「「x2p(x,y)h,E(Y2)=「y2p(x,y)tdy, col roy E(XY)=xyp(x,y)xcy。 roy 定义E(X-EX)(Y-EY)为二维随机变 量(X,Y)舶协方差,或一维随机变量X与Y的 协方差并记作c0v(X,Y),o(X,Y)减或a
p(x, y) = = xoy xoy 则 E(X) xp(x, y)dxdy , E(Y ) yp(x, y)dxdy , = xoy E XY xyp x y dxdy ( ) ( , ) ⚫若（X,Y）为连续型随机变量 且分布密度为 ， X Y X Y X Y X Y X Y E X EX Y E Y 协方差并记作 或 量 的协方差 或一维随机变量 与 的 定义 为二维随机变 cov( , ), ( , ) ( , ) , [( − )( − )] = = xoy xoy E(X ) x p(x, y)dxdy , E(Y ) y p(x, y)dxdy , 2 2 2 2
定义p(X,Y) EI(X-EX(r-Er) o(Xo(r) 为 X与Y的(线性)相关系数 计算时E(X-EX)(Y-EY) =E(XY)-EX·EY (X)=E(X-EX)2=E(X2)-(EX)2, a2(Y)=E(Y-EY)2=E(Y2)-(EY)2 计算时用到数学期望与方差的性质
⚫ 定义 为 X与Y的（线性）相关系数。 ( ) ( ) [( )( )] ( , ) X Y E X EX Y EY X Y − − = E XY EX EY E X EX Y EY = − − − ( ) 计算时 [( )( )] ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 2 2 X = E X − EX = E X − EX 2 2 2 2 (Y) = E(Y − EY) = E(Y )−(EY) 计算时用到数学期望与方差的性质
数学期望的性质: 1)若k为常数,则E(kX)=kE(X); 2)E(X±Y)=E(X)±E(Y); 推论:E(X1±X2±…土Xn) E(X1)±E(X2)+…土E(Xn); ●推论:E(k1X1±k2X2+…±knHn) =kE(X1)±k2E(X2)±…土knE(Xn); °3)若X与Y相互独立, 则E(XY)=(EX)(EY)
⚫数学期望的性质： ⚫ 1） 若 k为常数,则 E (kX ) = kE ( X ) ; ⚫ 2 ） E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) ; ⚫推论： ⚫ ; ( ) E X1 X 2 X n ( ) ( ) ( ) = E X1 E X2 E Xn ⚫推论： ⚫ ; ( ) 1 1 2 2 n Xn E k X k X k ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 nE Xn = k E X k E X k ⚫ 3 ） 若X与 Y相互独立, 则 E (XY ) = (EX )(EY )