子群的判定一判定定理 一 ●G是群，H是G的非空子集。H是G的子群当且 仅当： ●Va,b∈H,abeH,并且 ●Va∈H,l∈H (注意：这里是a在G中的逆元，当H确定为群后，它也是a在H中的逆元) 证明 ●必要性显然（注意群中逆元素的唯一性) 。充分性：只须证明G中的单位元也一定在H中，它 即是H的单位元素
子群的判定 – 判定定理一 G是群，H是G的非空子集。H是G的子群当且 仅当： a,bH, abH, 并且 aH, a -1H （注意：这里a -1是a在G中的逆元，当H确定为群后，它也是a在H中的逆元） 证明 必要性显然（注意群中逆元素的唯一性） 充分性：只须证明G中的单位元也一定在H中，它 即是H的单位元素。 6
子群的判定-判定定理二 。G是群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅当： Va,b∈H,ab-leH ●证明 。必要性易见 。充分性： ●单位元素：因为H非空，任取a∈H,e=l∈H ·逆元素：a∈H,因为e∈H,所以rl=eml∈H ·封闭性：a,beH,己证b-1eH,所以ab=a(b)1∈H
子群的判定 – 判定定理二 G是群，H是G的非空子集。H是G的子群当且仅当： a,bH, ab-1H 证明 必要性易见 充分性： 单位元素：因为H非空，任取aH, e=aa-1H 逆元素： aH, 因为eH, 所以 a -1=ea-1H 封闭性： a,bH, 已证b -1H，所以ab=a(b -1 ) -1H 7
群的术语：元素的乘幂 (次方) ·定义 W=e(e是单位元素) a+1=a"oa(n是非负整数) 心k=()k(k为正整数) 。性质 anoam=an+m (an)m-anm 8
群的术语：元素的乘幂（次方） 定义 a 0 = e （e是单位元素） a n+1 = a n ⃘a (n是非负整数) a -k =(a -1 ) k (k为正整数) 性质 a n ⃘a m= a n+m (a n ) m= a nm 8
群的术语：元素的阶 。设G是群，a∈G,a的阶（周期）定义如下： ●la=min{k∈Zlak=e} 。如果这样的k不存在，a为无限阶元 ●性质 。有限群不存在无限阶元 。群中元素及其逆元具有相同的阶 。有限群中大于2的元素有偶数个 ● 偶数群中阶为2的元素有奇数个(a=1) 9
群的术语：元素的阶 9
子群的判定一有限子群 ·G是群，H是G的非空有限子集。H是G的子群当且仅当： Va,beH,abeH 。证明.必要性显然.下证充分性，只须证明逆元素性 。若H中只含G的单位元，H显然是子群。 。否则，任取H中异于单位元的元素4，考虑序列 0,a2,,… 注意：该序列中各项均为有限集合H中的元素，因此， 必有正整数i,j>i),满足：=d,因此： rl=ai-il∈H 10
子群的判定 – 有限子群 G是群，H是G的非空有限子集。H是G的子群当且仅当： a,bH, abH 证明. 必要性显然. 下证充分性，只须证明逆元素性 若H中只含G的单位元，H显然是子群。 否则，任取H中异于单位元的元素a, 考虑序列 a, a 2 , a 3 , ... 注意：该序列中各项均为有限集合H中的元素，因此， 必有正整数i, j(j>i), 满足：a i=a j , 因此： a -1=a j-i-1 H 10