难念、在下面的课中,我已稍微跟大家讲一讲几何方面的发展.微积分还有 个发展,最要紧的是复数.很奇怪的,普通的数目是实数,那么在实数域 上,x2+1=0就没有解.在复数域上,我们不但使它有解,并且复数有非常 巧妙的性质,有很多现象都被放在复数里头了.复数与实数一样,有运算的 规律,你用这个规律之后,复数代表了很多现象.我们以后会看到在复数里 头的这些内容.所以,数学要应用,我们这个课是应用数学,要学会应用.要 应用的话,会发现复数很要紧.因此,复变函数不在19世纪的发展是数学里 头最要紧的,是一个比其它方面的发展来得更要紧一些的发展.最后,我得 留点时间讲讲在复数方面的应用.复数不只是使得对于任一个方程式有解 并且利用复数,很多数学问题来得简单.复变函数不比实变函数不简单多 了.实变函数不有许多抽象的问题,其实与实际不大有要系,不过当时也需 要了.所以这是西个题目,我要在这个课程里头把它们已办法讲一点,使得 大家发了解微积分在它们上的应用是最重要的西个方向 2关于 Stokes公式的补充 上次讲到了微积分的运本定理,有时等就写成这种形状 trade (21) 即这西个式子相等.很惭愧地,当年我在南开思源堂念微积分,我自己就 有一个问题,为什么这就是运本定理,始终不懂.很不幸地,你们大概现在也 还有这个习惯,不敢问问题.我那时也不敢问问题,跟你们现在一样,始终 不懂,过了很多年,才知叫(2.1)的确是运本定理.这是因为(21)说明了微分 与积分的要系.这个式子的西端,一边是个定积分,是一个面积,右边是微 分相反的运算,所以右边的积分是一个不定积分,与句话,是一个函数,它的 微分是∫(x).也就是说,它的左边是积分,右边是微分.那么这个运本定理 就说明了微分与积分的运本要系.大致上说,微分是积分的一个反运算,就 是要分一个函数,使得它作为已知函数的微分.现在的问题是,到了高维怎 么样?这个运本定理是一个变数的.现在假设多变数,会怎么样?这就是 2
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多相数的微积分.有一个n维的空间,n维下来就有许多不同的维.多相数的 微积分基本观念是个重积分,在平面上是一个二重积分,在高维的空间是多 重积分.我上次讲了,积分有一个积分的区域,积分是在一个区域里求积分 然后还有一个算子,主要讨论积什么东西,这一个函数是什么东西.我上次 讲这个算子是一个外微分,外微分就是dx,dy这些微分乘起来.不过这个乘 法是反对性的,反对称妙极了.因为反对称之后,一个dx不能够存在两次 即(dx)2=0.一个要紧的问题是什么叫dax,这个问题比较复杂,讲起来比较 长.这个问题也就是什么是一个函数的微分.我们假定d是确定的,有意义 的.课dx为相数造一个多项式,这个多项式的乘法是反对称,这种反对称乘 法的多项式叫外微分式,外微分式就是指积分的一个对象,在一个区域里积 这个外微分.这也可课看作一种配偶(pair),有一个区域,再有一个积分和 放在一起,积分有一个值,这个值是一个数,这两个是配合的结果.有了这个 多重积分的观念之后,多相数的微积分基本定理,就是所谓的 Stokes定理.St okes定理是一个几何的现象与一个分析现象联合的结果.在高维时等,例如 在m维的空间,假使存在一个k维的区域,它可课是低维的任意区域有这样 个k维区域,例如平面上一个二维区域,空间中一个曲面等,很明显地,这 个低维区域有一个边界.区域有边界的观念是代数拓扑一个基本观念,你要 研究它的边界关系,一个深刻的研究就引到所谓(下)同调群( homology) 同调群是代数拓扑研究空间性质的最基本的一个观念.现在有一个k维区 域△,它的边界写成O△.另外有一个(k-1)维外微分,外微分式子是k-1次 微分课后为k次.所谓 Stokes定理,就是说对于u是一个k-1维外微分式,它 的外微分d在△上积分等于把在△边界上求积分,即 质是外微分式 这个就是所谓 Stokes定理.这是多相数微积分的一个基本定理.在龚升先生 写的书中,也特响提出这个观点这个基本定理的确包括我上面讲的那个基 本定理作为特响情形.假使这个空间是1维的,在1维的情形,区域是线段,它 的边界就是线段的两个端点,两个点.求在两个端点的值(其中u为那个不 定积分)就是我在上面基本定理的公式的右边函数在b的值减去在a的值,就
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是在边界上u的积分,而左边就是在这个线段的积分,就是从a到定积分 所以,不难看出来 Stokes定理在直线(1维)的情形就是微积分的基本定理.那 么2维的情形呢?2维就是很有名的所谓 Green定理: (Pr-Qy)d dy=/Pdz+Qdy 2维情形时,区域是2维的,它的边界是曲线于是(23)就是平常的Gree定 理,你们都知道,都很熟悉.所以 Stokes定理在平面上的特别情形就 是Gren定理. Stokes定理有不同的名字,看你用哪一本书.不过现在比 较通行叫 Stokes定理.那么还有另外的一个特别情形:在三维空间,假设有 个曲面,它是一个三维区域的边界,那么C此时 Storkes定理就写成 / (P2+Qy +R2)d rdydx=/Pdydz+Qd cdz+Rd rdy.(2.4) 你们在学高等微积分已经碰到了,一个二次式在边界(曲面)上的重积分等于 它的三次式在区域里头的三重积分.这是 Stokes公式的另外一个情况.整个 的情况在高维都对.有一个基本性质,就是外微分d用两次一定等于0.假 使 omega是一个外微分式,那么 d(d(u)=0 这个方程非常容易证明.对于ω,外微分式显然是线性的,所以你只需要 把当成一个单项来证明就行了,这是因为你每一项的d2都等于0.于是对于 单项的情况,单项是一组d乘上一个函数.显然,只要证明一个函数用两次d, 它一定等于0就可以了.我底下算了一下:在一个n维的空间中,它的坐标 是(x1,…,xn)有一个函数是f是x;的函数,d一次的话,就是普通的偏微分 也就是dx,再微分一次,得到二级偏微分,再乘dx1∧dr,这个二阶偏微 分后是对称的,这是因为求偏微分与次序无关.因此这个系数是对称的,而 我们这两个dr,dx的乘法是反对称的,显然两次微分之后就等于0了,即 d(df)=d(fid ri)=fiy. c, A d;=0 (26) 这里,因为固定了与j,就得到d-df,但是因为∫是对于这个指标是对称 的,所以就是0了.因此上面证明了对于函数的d2=0,这就可以了. Stokes定
✹ó✣➂Þω④è■, ✌✫✣Ò✹ó❨➬✧ã④è■, Ò✹✱atb④➼è■. ➘✶, ❳✡✗ñ✉Stokes➼➤ó❺✧(1➅)④❁♦Ò✹❻è■④äý➼➤. ➃2➅④❁♦✑Ú2➅Ò✹✐❿Ö④➘➣Green➼➤: Z (Px − Qy)dxdy = Z P dx + Qdy (2.3) 2➅❁♦✣, ❑➢✹2➅④, ➬④✣➂✹▼✧. ➉✹(2.3)Ò✹➨➒④Green➼ ➤, ✜➣Ñ⑧✇, Ñ✐❨ç. ➘✶Stokes➼➤ó➨➪Þ④✁✴❁♦Ò ✹Green➼➤. Stokes➼➤❿❳✸④Ö✠, ✗✜⑦ý✘ý❱. ❳✱✙ó✞ ✈✴q✇Stokes➼➤. ➃↕❿☞✐④✘➬✁✴❁♦: ó➤➅✽✲, ✧÷❿ ✘➬▼➪, ➬✹✘➬➤➅❑➢④✣➂, ➃CI✩✣Storkes➼➤Ò❯➘ Z (Px + Qy + Rz)dxdydz = Z P dydz + Qdxdz + Rdxdy. (2.4) ✜➣ó➛➦⑧❻è■✳➨➁tê, ✘➬✓✬✯ó✣➂(▼➪)Þ④➢è■⑧➉ ➬④➤✬✯ó❑➢➦❃④➤➢è■. ❨✹StokesÚ✯④☞✐✘➬❁❨. r➬ ④❁❨ó➦➅Ñé. ❿✘➬äý✉➓, Ò✹✐❻■d ⑦Ü✬✘➼⑧➉0. ✧ ✫ømega✹✘➬✐❻■✯, ➃ d(d(ω)) = 0. (2.5) ❨➬✵➬✿➒➂✹②Ò. é➉ω, ✐❻■✯✗❧✹✧✉④, ➘✶✜➄❽✞ ➨ω❤➘✘➬❭✶✉②ÒÒqê, ❨✹❖➃✜➎✘✶④d 2Ñ⑧➉0. ➉✹é➉ ❭✶④❁❨, ❭✶✹✘✜d➷Þ✘➬❁❥. ✗❧, ➄✞②Ò✘➬❁❥⑦Ü✬d, ➬✘➼⑧➉0Ò✱✶ê. ➲➂✆➤ê✘✆: ó✘➬n➅④✽✲➙, ➬④✰✮ ✹(x1, · · · , xn). ❿✘➬❁❥✹f ✹xi④❁❥, d✘✬④➏, Ò✹✃✴④➔❻■, ✎Ò✹ ∂f ∂xi dxi . ò❻■✘✬, ③t✓ÿ➔❻■, ò➷dxj ∧ dxi . ❨➬✓⑦➔❻ ■fij✹é➪④, ❨✹❖➃❋➔❻■➛✬➇➹✞. ❖✩❨➬ø❥✹é➪④, ✌ ➲➣❨Ü➬dxi , dxj④➷✛✹✬é➪④, ✗❧Ü✬❻■❷⑨Ò⑧➉0ê, ý d(df) = d(fidxi) = fijdxj ∧ dxi = 0. (2.6) ❨➦, ❖➃û➼êi➛j, Ò③tdfij − dfji, ❜✹❖➃f✹é➉❨➬➁✮✹é➪ ④, ➘✶Ò✹0ê. ❖✩Þ➪②Òêé➉❁❥④d 2 = 0, ❨Ò✱✶ê. Stokes➼ 4
算可以说区域学外微分是一个对代,使得律边界跟算讲个d讲两个算子是adj oint,是对代的算子,讲是个了不得的结式.因为律边界,是一个几何运算, 其实律一个区域的边界是一个完全的几何的运算,是整个的区域的一个性 质.律外微分d是一个局部的,分析的运算,是完全局部的,只学讲一点的附 敢有关系,所以一个是整怎的几何算子.一个是局部的分析算子,它们是 对代的. Stokes定算说它们是对代的,所以讲是一个重要极了的定算.我可 以下面稍微讲得多一点.空间不一定是普通的 Euclid空间,也容空间拿x做 坐标为所谓的流形.假设空间是一个流形的话,也可以讨论它的外微分式 例如k次的外微分式.一个k次的外微分式加另外一个次外微分式还是一 个k次的外微分式,于是所有的k次的外微分式成为一个我们所谓的矢上空 间( vector space),在其中可以进行加减.现在我就讨论所有d=0的讲种外 微分式,即外微分为0的那些外微分式.在数学上,我们称讲种外微分式是封 闭( (close)的.讲些封闭的外微分式积成矢上空间,因为两个 close外微分相加 仍为封闭的.设 Ik={u是k次外微分式},Ck={u|∈Ik,du=0}.(2.7) 那么我取u,w是一个封闭的外微分式.现在我把C当成一个群,讲个群有个 子群,讲个子群是什么呢?它就是所有的k-1维的外微分式子用d来作用 因为d=0,所以它就一定是 close的.因此在所有的封闭的k次外微分式积 成的Ck中,所有d乘上一个k-1次外微分式成为一个子群.于是整个群用子 群一除,在群论里头说它是一个商群( quotient).讲个群有个名字叫 de rha group H=ck/drk (28) 讲在拓扑上非常重要,就是说,外微分式多得不得了,甚至于 close的外微分 式也多得不得了,而在加除dB之说,在很多情形之下,就变成一个有限维的 矢上空间.那么讲个有限维空间的维数是讲空间的一个重要的性质,通常叫 做 Betti number,讲是代数拓扑中最浅的一个基本观次.也就是我们讨论外 微分式可以决定它的有些拓扑的不变式 5
➤✱✶⑨❑➢➛✐❻■✹✘➬é❙, ✫③❋✣➂❐➤❨➬d❨Ü➬➤✝✹adj oint, ✹é❙④➤✝, ❨✹➬ê❳③④❼✯. ❖➃❋✣➂, ✹✘➬✁❬ä➤, Ù✧❋✘➬❑➢④✣➂✹✘➬q❭④✁❬④ä➤, ✹r➬④❑➢④✘➬✉ ➓. ❋✐❻■d✹✘➬Û❭④, ■Û④ä➤, ✹q❭Û❭④, ➄➛❨✘➎④➂ ↔❿✞ø, ➘✶✘➬✹r✍④✁❬➤✝. ✘➬✹Û❭④■Û➤✝, ➬➣✹ é❙④. Stokes➼➤⑨➬➣✹é❙④, ➘✶❨✹✘➬➢✞ôê④➼➤. ➲✱ ✶✆➪ã❻❨③õ✘➎. ✽✲❳✘➼✹✃✴④Euclid✽✲, ✎➂✽✲üx✮ ✰✮➃➘➣④✖♦. ✧÷✽✲✹✘➬✖♦④➏, ✎✱✶ÿ❳➬④✐❻■✯, ➽➌k✬④✐❻■✯. ✘➬k✬④✐❻■✯✜☞✐✘➬k✬✐❻■✯↕✹✘ ➬k✬④✐❻■✯, ➉✹➘❿④k✬④✐❻■✯➘➃✘➬➲➣➘➣④✪Þ✽ ✲(vector space), óÙ➙✱✶➓q✜❃. ✙ó➲Òÿ❳➘❿d = 0④❨➠✐ ❻■✯, ý✐❻■➃0④❏✐❻■✯. ó❥➛Þ, ➲➣➪❨➠✐❻■✯✹❯ ✔(close)④. ❨❏❯✔④✐❻■✯è➘✪Þ✽✲, ❖➃Ü➬close✐❻■★✜ ❹➃❯✔④. ÷ Γ k = {ω|ω ✹k ✬✐❻■✯}, Ck = {ω|ω ∈ Γ k , dω = 0}. (2.7) ➃➲❘ω, ω✹✘➬❯✔④✐❻■✯. ✙ó➲➨C k❤➘✘➬❦, ❨➬❦❿➬ ✝❦, ❨➬✝❦✹✤➃✑Ú➬Ò✹➘❿④k − 1➅④✐❻■✯✝⑦d✉✯⑦. ❖➃d 2 = 0, ➘✶➬Ò✘➼✹close④. ❖✩ó➘❿④❯✔④k✬✐❻■✯è ➘④C k ➙, ➘❿d➷Þ✘➬k − 1✬✐❻■✯➘➃✘➬✝❦. ➉✹r➬❦⑦✝ ❦✘ø, ó❦❳➦❃⑨➬✹✘➬Û❦(quotient). ❨➬❦❿➬Ö✠✇de Rham group: H k = C k /dΓ k . (2.8) ❨ó❴➚Þ✿➒➢✞, Ò✹⑨, ✐❻■✯õ③❳③ê, ☎➊➉close④✐❻■ ✯✎õ③❳③ê, ✌ó✜ødβ❷⑨, ó✐õ❁♦❷✆, Ò★➘✘➬❿✦➅④ ✪Þ✽✲. ➃❨➬❿✦➅✽✲④➅❥✹❨✽✲④✘➬➢✞④✉➓, ✴➒✇ ✮Betti number, ❨✹❙❥❴➚➙✦✝④✘➬äý✡✬. ✎Ò✹➲➣ÿ❳✐ ❻■✯✱✶û➼➬④❿❏❴➚④❳★✯. 5
3指数和对数函数 我现在去讲另外一个问题.上次有人讲,对于跟这个课有些困难,我讲的这 些题目不一定有关系,所以你如果对某一个题目有困难的话,就听我讲一个 别的题目了,所以不一定受多少影响。现在我换个题目.微积分既然是研 成函数的性质,用微积分来表示它的性质,那么函数是多得不得了的.函数 有种种的性质,而有一些函数,比较简单,因此也比较重要并且许多应用上 总碰到.有两个特别重要的函数是指数函数 (exponential function)与对数函 数( logarithm fun ction).这两个函数有什么性质呢?这是非常重要的函数 我们都晓得头一个的微分式.而x+的微分是等于(n+1)xn,因此x的积分 是等于nx+1,这里假使n+1≠0,即 d x+1=(n+1)xn→/x"z n+1 1≠0.(2.9) 如果n不等于-1,普通人到这个时候就结束了.因为你知道这个公式是什么 时候成立,这个公式在n=-1时不对,这就够了.这是很自然的.不过,如果 这时候要停止的话,你就没有用到函数积分的重要的定理,因为n=-1时, 这个积分才有意思所以,假使n=-1,我就取对dx/的积分.因为我不 取x=0,所以我这个积分假定它从1积到x,这个积分是要紧极了,有意义极 了.因为我这个积分,叫它ogx 10) 这就是对数函数.下面我讨论对数函数的最重要的性质.假使我把x乘常 数a,对logαx求微分.由于og的微分等于1/x,于是lgar是等于1/x,所以 这两个函数差一个常数C d log(ar) =→ log ax=logx+C 211) 假使我将x=1代入(2.11),此时og1=0,这是因为积分是从1到x,所以 从1到1积分当然是0.于是我就证到常数C就是loga,因此就得到log这个函 数的基本性质g函数用到ar的话等于logx+loga log(ar)=log a +log a (212)
3 ➁❥❩é❥❁❥ ➲✙ó❱❨☞✐✘➬➥☛. Þ✬❿⑤❨, é➉❐❨➬✶❿❏❤✡, ➲❨④❨ ❏☛ø❳✘➼❿✞ø, ➘✶✜➌✯éì✘➬☛ø❿❤✡④➏, Ò✫➲❨✘➬ ✴④☛øê, ➘✶❳✘➼■õè❦✴. ✙ó➲➛➬☛ø. ❻è■✑❧✹Ï ➘❁❥④✉➓, ⑦❻è■✉✱✰➬④✉➓, ➃❁❥✹õ③❳③ê④. ❁❥ ❿➠➠④✉➓, ✌❿✘❏❁❥, ✞✈❀❭, ❖✩✎✞✈➢✞❄✪➂õ❛⑦Þ ✎➁t. ❿Ü➬✁✴➢✞④❁❥✹➁❥❁❥(exponential function)➛é❥❁ ❥(logarithm fun ction). ❨Ü➬❁❥❿✤➃✉➓✑? ❨✹✿➒➢✞④❁❥, ➲➣Ñ❆③❃✘➬④❻■✯. ✌x n+1④❻■✹⑧➉(n + 1)x n , ❖✩x n④è■ ✹⑧➉ 1 n+1x n+1 , ❨➦✧✫n + 1 6= 0, ý d dxx n+1 = (n + 1)x n → Z x n dx = 1 n + 1 x n+1, n + 1 6= 0. (2.9) ➌✯n❳⑧➉−1, ✃✴⑤t❨➬✣⑧Ò❼❡ê. ❖➃✜⑧✇❨➬Ú✯✹✤➃ ✣⑧➘➪, ❨➬Ú✯ón = −1✣❳é, ❨Òêê. ❨✹✐✞❧④. ❳✱, ➌✯ ❨✣⑧✞✯➂④➏, ✜Ò➊❿⑦t❁❥è■④➢✞④➼➤, ❖➃n = −1✣, ❨➬è■❜❿❄❻. ➘✶, ✧✫n = −1, ➲Ò❘édx/x④è■. ❖➃➲❳ ❘x = 0, ➘✶➲❨➬è■✧➼➬✱1ètx, ❨➬è■✹✞➏ôê, ❿❄❇ô ê. ❖➃➲❨➬è■, ✇➬log x: Z x 1 dx x = log x, (2.10) ❨Ò✹é❥❁❥. ✆➪➲ÿ❳é❥❁❥④✦➢✞④✉➓. ✧✫➲➨x➷➒ ❥a, élog ax ❋❻■. ❸➉log④❻■⑧➉1/x, ➉✹log ax✎✹⑧➉1/x, ➘✶ ❨Ü➬❁❥❿✘➬➒❥C: d dx log(ax) = 1 ax a = 1 x =⇒ log ax = log x + C. (2.11) ✧✫➲❘x = 1 ❙➐(2.11), ✩✣log 1 = 0, ❨✹❖➃è■✹✱1tx, ➘✶ ✱1t1è■❤❧✹0. ➉✹➲Ò②t➒❥CÒ✹log a, ❖✩Ò③tlog❨➬❁ ❥④äý✉➓:log❁❥⑦tax④➏⑧➉log x + log a: log(ax) = log a + log x. (2.12) 6