微分是很妙的东西,因此你可以把积分号丢掉,就说我们拿dx,dy造一个很 代数,对这个很代数有个很微分,很微分很简部,就是假使微分各项的时候, 其实是对每项系数微分,结式我得到一个多项作,这个多项作的次数高 个.作为函数就变为一次微分作了,所以次数高一个,因此就作为原来是k次 的话,得到一个k+1次的微分作.这个是格林定理中如何把曲线微分的微分 作变为区域微分作,一重微分变为二重微分的公作.这个就很好了,因为这 里面有一个很代数,所以把这个微分作乘起来,用一个很乘法,微分的乘法 是反对称.然说呢,现在我有一个微分,它把k次的很微分作变为k+1次的 很微分作,这样子就把这个很微分作中间给了一个新的结构,可以微分,这 个微分跟普通的微分不一样,它是把k次变为k+1次,微分一般地总是加 次.这个很微分是最那时候 Frobenius, Darboux和我的老师 Elie Cartan和进 来的.他们最初和进这个观反是对于一次微分作,是 Frobenius, Darboux和 入的一次微分作.而 Elie c artan是法国的教授,是我的老师,他恐这是二 十世纪,也就是上个世纪最伟大的几何学家,法国巴黎大学的教授我想这 种教授很是模范,他不做别的活成,专做数学,时常功课是完全新的.有 年,他给了一门课,是《需析力学》( Analytical Mechanics),他把很微分的 观反表 Frobenius, Darboux表一次作的定义推广到高次作,所以整个的很微 分是 Elie Cartan和进来的,这是有用的东西.这个很微分有奇怪的现象:是 用两次之说等于0 0, 即这个很微分用两次等于0.我们关证明(1.11),就是对回论一个k次微分作 微分一次就变为k+1次,两次就变为k+2次微分作,它一定是0.关证明这 一点,我证明对于函数对了,就行了.所以我关证明对于任意的函数∫,把 这个d,很微分用两次,就等于0,即正2f=0就行了.早么为什么呢?因为 显然我关证明d=0,只关证明正2作用在只有一项上对就行了,这是因为它 是线性的,所以如式线性一项有这个性质,早么整个的和就等于0.早么 项的话,都是一个函数乘上一组dx,我现在选dx2,就是假定在高维,在n维, x就是x1到xn,在高维时,如式有一个函数f,∫是x1,……,xn的一个函数,对于 这个函数,用很微分两次,一定等于0.事实上,因为很微分一次就得到a是f
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对x1的一个偏微分,那么再用一次呢,它的系数就是从x;到x微分a2,a1 是∫的对x1的微分,所以这是f对从x;到x的二一阶微分 d(aid.ri=odx, A d ri (1.12 这个函数对于i,j是对称的.事实上我们知道一个函数微分两次的话跟次 序没有关系,是对称的如果一个对称的函数是 dz A dy的系数,而 d. A dy是 反对称的,那么它就等于0了.d是一个外微分,是对外代数的多以式的 个运算,这个运算运用两次就等于0了,这是一个了不得的关系.因为几何 上讲,假使你有一个区域,你取这个区域的边界,再取这个边界的边界,就 没有边界了.假使你取的边界是整个球,那么球没有边界.所以几何上讲有 个运算求边界,求边界的话,用两次,就等于0.有一个区域的求一次边界 是一个很好的区域,即不再有边界了,这个几何的性质跟外微分的性质是对 偶的.求两次边界一定等于0,这是个几何的性质;求外微分两次等于0,是 个分析的性质.这两个东西不是两个互不相关的东西,是完全对偶的,是 回事.一个边界通常用符号表示,边界两次等于0,即02=0.它跟外微分 是对偶的.这是一个了不得的几何关系,了不得的数学上的关系,妙得不得 了,因为求边界是一个几何的问题,更是一个整体的问题,一定要拿整个区 域乘上边界,但是求外微分是个分析的问题,是个局部的问题.要外微分只 要知道这个微分式在一点附近的性质就有了.这一个局部的运算跟一个整 体的运算有这系对偶的关系是很难得的事情,是一个重要的几何现象,是重 要的数学现象.为什么对偶呢?其实这就是格林定理的推广,就是 Stokes定 理. Stokes定理讲,假使有一个区域,把它封闭上,△是这系一个k维的区 域,所以它的边界就是边界△k.那么假使有一个微分式叫做a,它的次数 是k-1(dega=k-1),于是我们就有这么一个关系:a在边界的积分等 于d在△的积分, 这是重要极了的定理,通常用 Stokes名义. Stokes是英国的应用数学家,你 们大概在这个课中已经听到 Stokes定理. Stokes定理就把两个普通的运算 7
éxi④✘➬➔❻■, ➃ò⑦✘✬✑, ➬④ø❥Ò✹✱xi txj❻■ai , ai ✹f④éxi ④❻■, ➘✶❨✹fé✱xitxj④✓⑦❻■: d(aidxi) = ∂ai ∂xj dxj ∧ dxi , (1.12) ❨➬❁❥é➉i, j✹é➪④. ✴✧Þ➲➣⑧✇✘➬❁❥❻■Ü✬④➏❐✬ ➇➊❿✞ø, ✹é➪④. ➌✯✘➬é➪④❁❥✹dx ∧ dy④ø❥, ✌dx ∧ dy✹ ✬é➪④, ➃➬Ò⑧➉0 ê. d ✹✘➬✐❻■, ✹é✐❙❥④õ✶✯④✘ ➬ä➤, ❨➬ä➤ä⑦Ü✬Ò⑧➉0 ê, ❨✹✘➬ê❳③④✞ø. ❖➃✁❬ Þ❨, ✧✫✜❿✘➬❑➢, ✜❘❨➬❑➢④✣➂, ò❘❨➬✣➂④✣➂, Ò ➊❿✣➂ê. ✧✫✜❘④✣➂✹r➬❊, ➃❊➊❿✣➂. ➘✶✁❬Þ❨❿ ✘➬ä➤❋✣➂, ❋✣➂④➏, ⑦Ü✬, Ò⑧➉0. ❿✘➬❑➢④❋✘✬✣➂ ✹✘➬✐P④❑➢, ý❳ò❿✣➂ê, ❨➬✁❬④✉➓❐✐❻■④✉➓✹é ❙④. ❋Ü✬✣➂✘➼⑧➉0,❨✹➬✁❬④✉➓; ❋✐❻■Ü✬⑧➉0, ✹ ➬■Û④✉➓. ❨Ü➬➚Ü❳✹Ü➬➄❳★✞④➚Ü, ✹q❭é❙④, ✹✘ ➹✴. ✘➬✣➂✴➒⑦♥❘∂✱✰, ✣➂Ü✬⑧➉0, ý∂ 2 = 0. ➬❐✐❻■ ✹é❙④. ❨✹✘➬ê❳③④✁❬✞ø, ê❳③④❥➛Þ④✞ø, ➱③❳③ ê, ❖➃❋✣➂✹✘➬✁❬④➥☛, ❮✹✘➬r✍④➥☛, ✘➼✞ür➬❑ ➢➷Þ✣➂, ❜✹❋✐❻■✹➬■Û④➥☛, ✹➬Û❭④➥☛. ✞✐❻■➄ ✞⑧✇❨➬❻■✯ó✘➎➂↔④✉➓Ò❿ê. ❨✘➬Û❭④ä➤❐✘➬r ✍④ä➤❿❨øé❙④✞ø✹✐✡③④✴❁, ✹✘➬➢✞④✁❬✙✻, ✹➢ ✞④❥➛✙✻. ➃✤➃é❙✑ÚÙ✧❨Ò✹➶õ➼➤④▼✒, Ò✹Stokes➼ ➤. Stokes➼➤❨, ✧✫❿✘➬❑➢, ➨➬❯✔Þ, ∆k✹❨ø✘➬k➅④❑ ➢, ➘✶➬④✣➂Ò✹✣➂∂∆k . ➃✧✫❿✘➬❻■✯✇✮α, ➬④✬❥ ✹k − 1(degα = k − 1), ➉✹➲➣Ò❿❨➃✘➬✞ø: α ó✣➂④è■⑧ ➉dα ó∆k④è■, Z ∂∆k α = Z ∆k dα. (1.13) ❨✹➢✞ôê④➼➤, ✴➒⑦Stokes Ö❇. Stokes ✹❪✮④❛⑦❥➛✛, ✜ ➣▲➊ó❨➬✶➙✳➨✫tStokes ➼➤. Stokes ➼➤Ò➨Ü➬✃✴④ä➤, 7
个是等于区域的边界的运算,一个是等于外微分的积分,这两个有简单的 关系.假使我们把外微分的积分写成这个关系 (0△,a)=(△,da) (1 这个外微分成一个矢量空间( Vector Space),可以加减,这个区域也是另外 个矢量空间,也可以加减.假使这两个矢量空间经过积分,因此就有一个所 谓的“对”(pair),这个矢量空间的一点和那个矢量空间一点连在一起是得到 个正数,得到一个数,那么 St okes定理就是说这个 paring使得对△的作用 的算子∂与外微分d是伴随的( adjoint),是对偶的“对,这就是 Stokes定理的 意义.高维时,及任意维时都是对的龚升教授在他的小书里说,这个是微积 分的基本定理.从它就给出我们普通微积分的基本定理.因为假使k=1, 那么我们的区域是一个线段,从a到b的线段,这个线段就是△,它的边界呢, 是b点减a点a在这里是一个函数,上次讲的d是个积分,在一维的情形就 是用到直线上.因此在一维的情形△是个线段,它的边界是b-a,a是一个函 数∫,所以da是df,于是 (b-a,=(4,40)→f(b)-f(a)=/可f 这就是说函数在b点的值减去函数在a点的值等于可在这个线段上的积分, 这个就是所谓微积分的基本定理.也就是说右边是从a到b积分可,左边就 是f(b)-∫f(a),这就是我们的基本定理,所以 Stokes定理是微积分的基本定 理在高维的推广.因此在多元的微积分里头也是个进步,非常有用,因为外 微分包含很多材料.有一个公式很容易证明的,就是你把两个外微分的式 子a跟β相乘,而求这个的外微分, d(a∧B)=daAB+(-1) (1.16) 这个公式很容易证明,因为简单为只要假定α和β都单项就行了.这是由于对 于a和β都是线性的.假定它们都是单项的,就可以写成dx1,…,drk,…,dxn, 前头乘个函数一算就可以得到了.所以它们这个乘法之间和外微分有这 样一种简单的关系.这个关系不但如此,还可以更远的,因为假使有
✘➬✹⑧➉❑➢④✣➂④ä➤, ✘➬✹⑧➉✐❻■④è■, ❨Ü➬❿❀❭④ ✞ø. ✧✫➲➣➨✐❻■④è■❯➘❨➬✞ø, (∂∆, α) = (∆, dα). (1.14) ❨➬✐❻■➘✘➬✪Þ✽✲(Vector Space), ✱✶✜❃, ❨➬❑➢✎✹☞✐✘ ➬✪Þ✽✲,✎✱✶✜❃. ✧✫❨Ü➬✪Þ✽✲➨✱è■, ❖✩Ò❿✘➬➘ ➣④“é”(pair), ❨➬✪Þ✽✲④✘➎❩➬✪Þ✽✲✘➎❐ó✘å✹③t ✘➬t❥, ③t✘➬❥, ➃St okes➼➤Ò✹⑨❨➬paring✫③é∆④✯⑦ ④➤✝∂ ➛✐❻■d ✹✃➧④(adjoint), ✹é❙④“é”, ❨Ò✹Stokes➼➤④ ❄❇. ➦➅✣, ù⑧❄➅✣Ñ✹é④.×☞s●ó➷④❇❱➦⑨, ❨➬✹❻è ■④äý➼➤. ✱➬Ò➱ñ➲➣✃✴❻è■④äý➼➤. ❖➃✧✫k = 1, ➃➲➣④❑➢✹✘➬✧ã, ✱a tb④✧ã, ❨➬✧ãÒ✹∆, ➬④✣➂✑, ✹b➎❃a➎. α ó❨➦✹✘➬❁❥, Þ✬❨④dα✹➬è■, ó✘➅④❁♦Ò ✹⑦t❺✧Þ. ❖✩ó✘➅④❁♦∆✹➬✧ã, ➬④✣➂✹b − a, α✹✘➬❁ ❥f,➘✶dα✹df, ➉✹ (b − a, f) = (∆, df) =⇒ f(b) − f(a) = Z b a df. (1.15) ❨Ò✹⑨❁❥ób➎④❾❃❱❁❥óa➎④❾⑧➉dfó❨➬✧ãÞ④è■, ❨➬Ò✹➘➣❻è■④äý➼➤. ✎Ò✹⑨➁✣✹✱atbè■df, ✫✣Ò ✹f(b) − f(a), ❨Ò✹➲➣④äý➼➤, ➘✶Stokes➼➤✹❻è■④äý➼ ➤ó➦➅④▼✒. ❖✩óõ➹④❻è■➦❃✎✹➬➓❩, ✿➒❿⑦, ❖➃✐ ❻■Ý✾✐õ❛î. ❿✘➬Ú✯✐➂✹②Ò④, Ò✹✜➨Ü➬✐❻■④✯ ✝α❐β★➷, ✌❋❨➬④✐❻■, d(α ∧ β) = dα ∧ β + (−1)degαα ∧ dβ, (1.16) ❨➬Ú✯✐➂✹②Ò, ❖➃❀❭➃➄✞✧➼α❩βÑ❭✶Òqê. ❨✹❸➉é ➉α❩βÑ✹✧✉④. ✧➼➬➣Ñ✹❭✶④, Ò✱✶❯➘dx1, · · · , dxk, · · · , dxn, ✄❃➷➬❁❥✘➤Ò✱✶③tê. ➘✶➬➣❨➬➷✛❷✲❩✐❻■❿❨ ø✘➠❀❭④✞ø. ❨➬✞ø❳❜➌✩, ↕✱✶❮Ï④, ❖➃✧✫❿✘ 8
它运算,它的平方等于0,这是外不得了的,这它就过以造一它除法,有它 商( quotient).这样得到一它除法,现在叫做同调( homology).现在许多数学 的发展都是有它运算,加两次等于0,你就能造一它 quotien t,怎么样呢,什 么叫 quotient呢?就是你把成有的满足da=0的a,被成有d3来除,即 Halda=01/dB 1.17 要是a=d的话,因为=0,成以da=0.因此你取成有的成谓的闭形 式( close form),被过以写成d什么的东西来除,就得到在数学里头用一它唬 人的名字叫 homology.也就是取成有的k次的微分式,它们是封闭的(被d作 用为0),被成有的d的除,造一它商结构,这它商结构就叫做 homology.你过 以用到这它d,也过以用到这它边界用到边界的,历史上,是在拓扑里头,先 有用边界的,因为用的是0的 homology叫上同调( cohomology).这是由于历 史的关系,名字用掉了,成以叫 cohomology.这它外厉害,假使你有一它流 形,它是紧致的,它的 cohomology forn是有限维的,这它有限维的维数叫这 它空间的Bett数( Bett i Number).这是拓扑的内容,单学微积分,过以不必 去题,不从这它领域整它的有重要的发展,是近来数学的发展基本内容,当 然外要紧了.你有一它外大的空间,成有微分式组成的空间大得不得了,它 有结构,你过以加减,也过以求外微分,大得不得了,然后呢,它有些几何的 性质,取 quotient,这它 quotient是有限的,这它有限有它好处,得到数目有限, 是说有限维的维数是多少.得到一组数,这组数目就是这它空间的重要性 质,因为得知 Betti数是一它整数,有一群整数外要紧,比方说,球称球称有 这种 Bet ti数,环称也有 Betti数,它们是不一样,下称搞拓扑的人想法要证 明这种 Betti数是拓扑不变量,因此拓扑在数学的运用中就要紧了
➬ä➤,➬④➨✵⑧➉0, ❨✹✐❳③ê④, ❨➬Ò✱✶✆✘➬ø✛, ❿➬ Û(quotient). ❨ø③t✘➬ø✛, ✙ó✇✮✸➤(homology). ✙ó➂õ❥➛ ④✕✵Ñ✹❿➬ä➤, ✜Ü✬⑧➉0, ✜Ò✕✆✘➬quotien t, ✍➃ø✑, ✤ ➃✇quotient✑? Ò✹✜➨➘❿④✇✖dα = 0④α, ú➘❿dβ✉ø, ý {α|dα = 0}/dβ. (1.17) ✞✹α = dβ④➏, ❖➃d 2 = 0, ➘✶dα = 0. ❖✩✜❘➘❿④➘➣④✔♦ ✯(close form), ú✱✶❯➘d✤➃④➚Ü✉ø, Ò③tó❥➛➦❃⑦✘➬➂ ⑤④Ö✠✇homology. ✎Ò✹❘➘❿④k✬④❻■✯, ➬➣✹❯✔④(úd✯ ⑦➃0), ú➘❿④dβ④ø, ✆✘➬Û❼è, ❨➬Û❼èÒ✇✮homology. ✜✱ ✶⑦t❨➬d, ✎✱✶⑦t❨➬✣➂. ⑦t✣➂④, ➺✩Þ, ✹ó❴➚➦❃, ☛ ❿⑦✣➂④, ❖➃⑦④✹∂④homology ✇Þ✸➤(cohomology). ❨✹❸➉➺ ✩④✞ø, Ö✠⑦➠ê, ➘✶✇cohomology. ❨➬✐➳✸, ✧✫✜❿✘➬✖ ♦, ➬✹➏➋④, ➬④cohomology form✹❿✦➅④, ❨➬❿✦➅④➅❥✇❨ ➬✽✲④Betti ❥(Bett i Number). ❨✹❴➚④✓➂, ❭➛❻è■, ✱✶❳✗ ❱☛, ❳✱❨➬☛➢r➬④❿➢✞④✕✵, ✹↔✉❥➛④✕✵äý✓➂, ❤ ❧✐✞➏ê. ✜❿✘➬✐▲④✽✲, ➘❿❻■✯✜➘④✽✲▲③❳③ê, ➬ ❿❼è, ✜✱✶✜❃, ✎✱✶❋✐❻■, ▲③❳③ê, ❧⑨✑, ➬❿❏✁❬④ ✉➓,❘quotient, ❨➬quotient✹❿✦④, ❨➬❿✦❿➬Pÿ, ③t❥ø❿✦, ✹⑨❿✦➅④➅❥✹õè. ③t✘✜❥, ❨✜❥øÒ✹❨➬✽✲④➢✞✉ ➓, ❖➃③⑧Betti ❥✹✘➬r❥, ❿✘❦r❥✐✞➏, ✞✵⑨, ❊➪,❊➪❿ ❨➠Bet ti ❥, ➣➪✎❿Betti ❥, ➬➣✹❳✘ø, ✆➪➫❴➚④⑤✳✛✞② Ò❨➠Betti ❥✹❴➚❳★Þ, ❖✩❴➚ó❥➛④ä⑦➙Ò✞➏ê. 9
第二讲指数与对数函数 2001年10月19日 1本课的计划和目的 还有几分钟,我想趁这个机会讲一讲我的计划和目的.我这个课的课时 是8个小时,但微积分大得不得了,微积分的范围很广.不要说8个小时,明 是80个小时也讲不完的.所以我当然只能讲个大概,尤其是介绍整个的有 些意义的问题.至于详细的情形我没法去多讲.不详细的定义或者证明 我想你们已经学过微积分,所以我都不一定要给你们参考书,你们回去看 看自己以前用的书,大概在书里找得到.也有我的讲的范围和内容是书 中没有的.我觉得应该提一提微积分整个的影响或者是在那些方面向前发 展.可以说,微积分向前发展大概有两个最重要的方面.一个是在几何的应 用.微积分在微分几何的应用,最早是Gaus.Gass也许不是最早的,应该 还有别的人,如 Euler, Monge等人不过,我想Gaus是19世纪全世界最伟大 的数学法.数学在那时候,全世界也明是西欧了.因为这个原因,德国的数 学在19世纪是全世界最好的.那时,不但有Gaus,还有 Gauss的影响及其学 生.Gass最要紧的学生明是 Riemann.因为有 Gauss和 Riemann,德国的数 学明领先,领先的意思明是大法跟着他的方向去发展.在几何上的应用的发 展是很多的.当年 Einstein曾说过物理现象明是几何现象,以此发展他的广 义相对论.广义相对论当然要用坐标, Einstein了解最初的坐标表示几何问 题,希望坐标(x,y)有几何的意义.当一个物理学法觉得应该有几何的或物 理的意义时,他做起来才比较合理.不过, Einstein慢慢了解这个做不到,因 为空间呢,来得比较复杂,它允许任意坐标,允许坐标的任意选择,因此也允 许坐标变换,这明是我们现在所道的流形.流形的概次是空间概次的推 本来用的是 Euclid:空间或者非欧空间等只有几个空间,现在推广的流形明整 个推广了.推广了以说,整个的空间观次在物理上影响向前发展了.因此几 何里头要描写物理现象明需要几何新的概次.除了流形之外,还有纤维丛的
➅✓❨ ➁❥➛é❥❁❥ 2001★10Û19❺ 1 ý✶④✎➍❩ø④ ↕❿✁■➝, ➲✳➽❨➬å❒❨✘❨➲④✎➍❩ø④. ➲❨➬✶④✶✣ ✹8➬❇✣, ❜❻è■▲③❳③ê, ❻è■④✮➀✐✒. ❳✞⑨8➬❇✣, Ò ✹80➬❇✣✎❨❳q④. ➘✶➲❤❧➄✕❨➬▲➊, ❷Ù✹➄ër➬④❿ ✘❏❄❇④➥☛. ➊➉✲û④❁♦➲➊✛❱õ❨. ❳✲û④➼❇Ý❱②Ò, ➲✳✜➣✳➨➛✱❻è■, ➘✶➲Ñ❳✘➼✞➱✜➣❦✤❱, ✜➣➹❱✗ ✘✗✞✄✶✄⑦④❱, ▲➊ó❱➦■③t. ✎❿➲④❨④✮➀❩✓➂✹❱ ➙➊❿④. ➲ú③❛➈✡✘✡❻è■r➬④❦✴Ý❱✹ó❏✵➪✺✄✕ ✵. ✱✶⑨, ❻è■✺✄✕✵▲➊❿Ü➬✦➢✞④✵➪. ✘➬✹ó✁❬④❛ ⑦. ❻è■ó❻■✁❬④❛⑦, ✦✹Gauss. Gauss✎➂❳✹✦④, ❛➈ ↕❿✴④⑤, ➌Euler, Monge⑧⑤. ❳✱, ➲✳Gauss✹19✲✖❭✲➂✦➉▲ ④❥➛✛. ❥➛ó✣⑧, ❭✲➂✎Ò✹Ü◆ê. ❖➃❨➬➷❖, ②✮④❥ ➛ó19✲✖✹❭✲➂✦P④. ✣, ❳❜❿Gauss, ↕❿Gauss④❦✴ùÙ➛ ✠. Gauss✦✞➏④➛✠Ò✹Riemann. ❖➃❿Gauss❩Riemann, ②✮④❥ ➛Ò☛☛, ☛☛④❄❻Ò✹▲✛❐ø➷④✵✺❱✕✵. ó✁❬Þ④❛⑦④✕ ✵✹✐õ④. ❤★Einstein✑⑨✱Ô➤✙✻Ò✹✁❬✙✻, ✶✩✕✵➷④✒ ❇★é❳. ✒❇★é❳❤❧✞⑦✰✮, Einsteinê❽✦ð④✰✮✱✰✁❬➥ ☛, æ❶✰✮(x, y) ❿✁❬④❄❇. ❤✘➬Ô➤➛✛ú③❛➈❿✁❬④ÝÔ ➤④❄❇✣, ➷✮å✉❜✞✈❭➤. ❳✱, Einstein③③ê❽❨➬✮❳t, ❖ ➃✽✲✑, ✉③✞✈❹ì, ➬ã➂⑧❄✰✮, ã➂✰✮④⑧❄➔✡, ❖✩✎ã ➂✰✮★➛, ❨Ò✹➲➣✙ó➘✇④✖♦. ✖♦④➊✬✹✽✲➊✬④▼✒. ý✉⑦④✹Euclid✽✲Ý❱✿◆✽✲⑧➄❿✁➬✽✲, ✙ó▼✒④✖♦Òr ➬▼✒ê. ▼✒ê✶⑨, r➬④✽✲✡✬óÔ➤Þ❦✴✺✄✕✵ê. ❖✩✁ ❬➦❃✞➹❯Ô➤✙✻Ò❽✞✁❬❝④➊✬. øê✖♦❷✐, ↕❿✍➅✲④ 1