学句话说,对数是使得乘法年地你法,这是从前用对数从也算的一它运本 性质.现在因地有也算机了,大概不大用了.不过log这它函数非常要话,因 地用到了我们这它运本的性质(212).那么由这它对数的函数立刻就引进 指数的函数,指数函数是对数函数的念函数.假使y=logx的话,就按定义 y=log +a=ey (213) 因此它们互相是相念的函数.e是它指数函数,其与logx一起有你法与乘法 要除的公式:logx把乘法年地你法,指数函数也就把你法年地乘法了.一它 把乘法年地你法,一它倒了过来,它就把你法年地乘法,这是一它简单的公 式 rty 我这里有它证明: ety= elog u+logu =uu.a=e (215) 这些都是很容易的也算.我现在要证明指数函数它的微分就是它自己, 即e对y求微分就知于ey.这它证明地 exp y dy . =exp y,,,, (216) 这里把指数函数写成expy,当然也可写成ey.这时假定所有的数都是正 的,所以没有什么lg存在与否的问题.于是,指数函数的微分就是它自己 上面就给出了一它证明.大家也许记得,两它函数的图是这它样子,一它 是log在r的区重中在x=0的容近越来越小起来,趋于负懂穷.对数函数也是 它增长的函数( increasing funct ion),不过它增长得非常慢.指数函数就增 长得很快,它永远是正的.这是我画的两它简单的图( graph).我想你们在任 何微积分的书都看到过这两它函数的图.指数函数与对数函数是统一的函 数,一它是另外一它的念函数,这它性质是非常要话的,有奇妙的性质.维 一,指数函数的微分是它自己,因此,它有一它很简单的懂穷级数.这它懂穷 级数是用 Talyor公式展开的.我把 Taylor公式写一下: f(b)=/()+<o (b-a)+ f"(a)(b-a2+ +R 7
➛é➏⑨, é❥✹✫③➷✛★➃✜✛, ❨✹✱✄⑦é❥✱✎➤④✘➬äý ✉➓. ✙ó❖➃❿✎➤åê, ▲➊❳▲⑦ê. ❳✱log❨➬❁❥✿➒✞➏, ❖ ➃⑦tê➲➣❨➬äý④✉➓(2.12). ➃❸❨➬é❥④❁❥➪✴Ò❩➓ ➁❥④❁❥, ➁❥❁❥✹é❥❁❥④✬❁❥. ✧✫y = log x④➏, Ò➉➼❇, x = e y , ý y = log x ↔ x = e y . (2.13) ❖✩➬➣➄★✹★✬④❁❥. e y✹➬➁❥❁❥, Ù➛log x✘å❿✜✛➛➷✛ ✞ø④Ú✯: log x➨➷✛★➃✜✛, ➁❥❁❥✎Ò➨✜✛★➃➷✛ê. ✘➬ ➨➷✛★➃✜✛, ✘➬♣ê✱✉, ➬Ò➨✜✛★➃➷✛, ❨✹✘➬❀❭④Ú ✯: e x+y = e x e y . (2.14) ➲❨➦❿➬②Ò: e x+y = e log u+log v = e log uv = uv, u = e x , v = e y . (2.15) ❨❏Ñ✹✐➂✹④✎➤. ➲✙ó✞②Ò➁❥❁❥➬④❻■Ò✹➬✞✄, ýe yéy❋❻■Ò⑧➉e y . ❨➬②Ò➃ dy = dx x ⇒ exp y dy = dx dy = x = exp y, (2.16) ❨➦➨➁❥❁❥❯➘exp y, ❤❧✎✱❯➘e y . ❨✣✧➼➘❿④❥Ñ✹t ④, ➘✶➊❿✤➃log❄ó➛❞④➥☛. ➉✹, ➁❥❁❥④❻■Ò✹➬✞✄, Þ➪Ò➱ñê✘➬②Ò. ▲✛✎➂✏③, Ü➬❁❥④❈✹❨➬ø✝, ✘➬ ✹logóx④❑➢➙óx = 0④➂↔Ö✉Ö❇å✉, ❏➉❿➹❆. é❥❁❥✎✹ ✘➬✎➓④❁❥(increasing funct ion), ❳✱➬✎➓③✿➒③. ➁❥❁❥Ò✎ ➓③✐❖, ➬④Ï✹t④. ❨✹➲➌④Ü➬❀❭④❈(graph).➲✳✜➣ó⑧ ❬❻è■④❱Ñ✗t✱❨Ü➬❁❥④❈. ➁❥❁❥➛é❥❁❥✹✿✘④❁ ❥, ✘➬✹☞✐✘➬④✬❁❥, ❨➬✉➓✹✿➒✞➏④, ❿Û➱④✉➓. ➅ ✘, ➁❥❁❥④❻■✹➬✞✄, ❖✩, ➬❿✘➬✐❀❭④➹❆ÿ❥. ❨➬➹❆ ÿ❥✹⑦TalyorÚ✯✵✌④. ➲➨TaylorÚ✯❯✘✆Õ f(b) = f(a) + f 0 (a) 1! (b − a) + f 00(a) 2! (b − a) 2 + · · · + Rn, (2.17) 7
Rn=/f(n)(t) (b-t)n2-1 我想这些你们都念从了这些了.这个 Taylor公式把任意的函数展成一个无穷 级数,a易一点b易另外一点,那么它从以展成(b-a)的一个多以式,后面有 个余以,这个余以易由积分(218)给出. Taylor公式在一个余以的时知就 易这个所谓中值定理无 Mean value theorem). Taylor公式就易中值定理的 高次的一个推广.由 Taylor公式,现在我们这个指数函数简单得不得了,因 为微分怪去都易它自己,所以有一个无穷级数,外简单,我封为 1+x+x2 (219) 所以这个指数函数有一个外简单的展开,它有一个重要的性质,我想有时知 你这个数样当然易正数,没少易实数,有的时知你用一怪复数的话,有外你 给的性质!同样的,我知叫sinx与cosx有另外这西个展开: SIn T= T (220) 1 cos c=1-5x2+=x4- (221) 你会发现,假使对e,将x改为ix,其中2=-1.那么e就有个式子: cOs T+sinr. (222) 我想外容易由(2.19)-(2.21)看出来有这样的公式允附变数取复数的值,取 个扑西,那么假使你用这个公式的话,取x=丌,于易e=-1.你们都知 叫这个公式.不从这易个外有意思的式子.因为这里头有几个常数.大家 注意的一个易丌,另外一个就易e.e易因为 Euler. Euler在当时18世纪的那个 时知,那时跟现在时间不太一样,那个时知世界就易西欧.世界有科与的发 展,就易在西欧.大家承认有一个最于大的数与家, Euler易那时被承认最于 大的数与家.所以有人做了国王之后,在他的朝廷里愿意有个于大的数与 家,于易uler就被请到圣彼得堡.他就封了外多外多书.这个 Euler易外有 意思的,大概封的文章易没有人超从的.他封了几百本.他有好多义通,所
Rn = Z b a f (n) (t) (b − t) n−1 (n − 1)! dt. (2.18) ➲✳❨❏✜➣Ñ✬✱ê❨❏ê. ❨➬TaylorÚ✯➨⑧❄④❁❥✵➘✘➬➹❆ ÿ❥, a✹✘➎, b✹☞✐✘➎, ➃➬✱✶✵➘(b − a)④✘➬õ✶✯, ⑨➪❿ ✘➬➏✶, ❨➬➏✶✹❸è■(2.18)➱ñ. TaylorÚ✯ó✘➬➏✶④✣⑧Ò ✹❨➬➘➣➙❾➼➤➹Mean Value Theorem➘. TaylorÚ✯Ò✹➙❾➼➤④ ➦✬④✘➬▼✒. ❸TaylorÚ✯, ✙ó➲➣❨➬➁❥❁❥❀❭③❳③ê, ❖ ➃❻■✆❱Ñ✹➬✞✄, ➘✶❿✘➬➹❆ÿ❥, ✐❀❭, ➲❯➃ e x = 1 + x + 1 2!x 2 + · · · + 1 n! x n + · · · , (2.19) ➘✶❨➬➁❥❁❥❿✘➬✐❀❭④✵✌, ➬❿✘➬➢✞④✉➓, ➲✳❿✣⑧, ✜❨➬❥ø❤❧✹t❥, ➊è✹✧❥, ❿④✣⑧✜⑦✘✆❹❥④➏, ❿✐✜ ➱④✉➓➻✸ø④, ➲⑧✇sin x➛cos x❿☞✐❨Ü➬✵✌: sin x = x − 1 3!x 3 + 1 5!x 5 − · · · ; (2.20) cos x = 1 − 1 2!x 2 + 1 4!x 4 − · · · . (2.21) ✜❒✕✙, ✧✫ée x , ❘x➉➃ix, Ù➙i 2 = −1. ➃e ixÒ❿➬✯✝: e ix = cos x + isin x, (2.22) ➲✳✐➂✹❸(2.19)-(2.21)✗ñ✉❿❨ø④Ú✯. ã➂★❥❘❹❥④❾, ❘ ✘➬➚Ü, ➃✧✫✜⑦❨➬Ú✯④➏, ❘x = π, ➉✹e iπ = −1. ✜➣Ñ⑧ ✇❨➬Ú✯. ❳✱❨✹➬✐❿❄❻④✯✝. ❖➃❨➦❃❿✁➬➒❥. ▲✛ Õ❄④✘➬✹π, ☞✐✘➬Ò✹e. e✹❖➃Euler. Euleró❤✣18✲✖④➬ ✣⑧, ✣❐✙ó✣✲❳Ô✘ø, ➬✣⑧✲➂Ò✹Ü◆. ✲➂❿✮➛④✕ ✵, Ò✹óÜ◆. ▲✛❐⑨❿✘➬✦➉▲④❥➛✛, Euler✹✣ú❐⑨✦➉ ▲④❥➛✛. ➘✶❿⑤✮ê✮⑤❷⑨, ó➷④➟✮➦Ñ❄❿➬➉▲④❥➛ ✛, ➉✹EulerÒú❃t✒✡③ã. ➷Ò❯ê✐õ✐õ❱. ❨➬Euler✹✐❿ ❄❻④, ▲➊❯④➞✾✹➊❿⑤➜✱④. ➷❯ê✁➸ý. ➷❿Põ❇✴, ➘ 8
以他是希系小刻子,刻子坐在他腿上,做他的数学.我跟他曾经发生一个要 除,就是我们这个南开图书馆比不比他的部集.他的部集比几千块话金,几 百本.括希歉的,说来我决定不买了.太贵了并且恐怕没有人看了,文章都 是拉丁文的,结果我们图书馆没有 Euler的部集.我们有括多其它人的部集, 不可现在看来问题是有些文字的问题.比方后,巧们如果有功夫的话,可以 看看高斯的部集Gaus刚才我后是19从纪最伟大的数学家,大家都知叫他 的数学能力.所以后呢,如果人家可节请他,带系他一起去可节,那么可节时 就问他小的几何问题,Gaus当然就能解.那么Gaus小的几何问题的解在 他的论文集里,这是括有意思的.这些问题完部是初等几何的,有的就一页 做做他的小的几何定理,他的小定理都括有意思我们可以偷他的来写一篇 文章.括不幸地是他的文章不是拉丁文,就是德文,至少是德文. Euler写了 括多东西这个公果是其中之一,它把几个主比的数连起来.e,,π有这着 的要除:e=-1.这是非常有意思的.我再告诉巧们另外一个公果,不知 巧们有无兴趣同着用这个展开的话,可以用到atgr. arct cl的微分是 所以 arct这个函数有一个性质,就是一直求它们微分的话,果子会比较简单 因此由这些就得r的一个果子,即π可以写成一个无穷级数 1 这是一个漂亮极了的一个公果.它把一个1,3,5,79这么连在一起,加在 起是/4!所以,这是漂亮极了的一个公果!近代的一个有名的数论 家 Selberg,他是挪威的数学家,有一反他写一个文章,讲他对数论发生兴趣 就因为他看到这个公果.他恐怕现在是岁数大了一点,我想他可以总有80多 岁,人还在 4在几何上应用 还有几分钟,下一反我比讲一点几何.微积分在几何上的应用.几何上的应 用,当然是空间几何最有意思的是曲面的几何一一际维曲面的几何.际维曲 面有种种着子,有种种的形果,有种种不同的性质。在这方面有Gaus的
✶➷✹æø❇✴✝, ✴✝✰ó➷❖Þ, ✮➷④❥➛. ➲❐➷✑➨✕✠✘➬✞ ø, Ò✹➲➣❨➬✟✌❈❱☞✞❳✞➷④❭ø. ➷④❭ø✞✁ú▲➏➋, ✁ ➸ý. ✐æ☛④, ⑨✉➲û➼❳♦ê. Ô✧ê❄✪✾❨➊❿⑤✗ê, ➞✾Ñ ✹♥➯➞④, ❼✯➲➣❈❱☞➊❿Euler④❭ø. ➲➣❿✐õÙ➬⑤④❭ø, ❳✱✙ó✗✉➥☛✹❿❏➞✠④➥☛. ✞✵⑨, ✜➣➌✯❿Õ❡④➏, ✱✶ ✗✗➦❸④❭ø. Gauss➛❜➲⑨✹19✲✖✦➉▲④❥➛✛, ▲✛Ñ⑧✇➷ ④❥➛✕➴. ➘✶⑨✑, ➌✯⑤✛✱⑩❃➷, ◗ø➷✘å❱✱⑩, ➃✱⑩✣ Ò➥➷❇④✁❬➥☛, Gauss❤❧Ò✕❽. ➃Gauss④❇④✁❬➥☛④❽ó ➷④❳➞ø➦, ❨✹✐❿❄❻④. ❨❏➥☛q❭✹ð⑧✁❬④, ❿④Ò✘✏. ✮✮➷④❇④✁❬➼➤, ➷④❇➼➤Ñ✐❿❄❻, ➲➣✱✶❁➷④✉❯✘➓ ➞✾. ✐❳s➃✹➷④➞✾❳✹♥➯➞, Ò✹②➞, ➊è✹②➞. Euler❯ê ✐õ➚Ü. ❨➬Ú✯✹Ù➙❷✘, ➬➨✁➬❒✞④❥❐å✉. e, i, π ❿❨ø ④✞ø: e iπ = −1. ❨✹✿➒❿❄❻④. ➲ò➲➟✜➣☞✐✘➬Ú✯, ❳⑧ ✜➣❿➹❧❯. ✸ø⑦❨➬✵✌④➏, ✱✶⑦tarctgx. arctgx④❻■✹ 1 1+x2 . ➘✶arctg❨➬❁❥❿✘➬✉➓, Ò✹✘❺❋➬➣❻■④➏,✯✝❒✞✈❀❭. ❖✩❸❨❏Ò③π④✘➬✯✝, ýπ✱✶❯➘✘➬➹❆ÿ❥ π 4 = 1 − 1 3 + 1 5 − 1 7 + · · · (2.23) ❨✹✘➬↕àôê④✘➬Ú✯. ➬➨✘➬1,3,5,7,9❨➃❐ó✘å, ✜ó ✘å✹π/4 ➻➘✶, ❨✹↕àôê④✘➬Ú✯➻↔❙④✘➬❿Ö④❥❳ ✛Selberg, ➷✹■❹④❥➛✛, ❿✘✬➷❯✘➬➞✾, ❨➷é❥❳✕✠❧❯ Ò❖➃➷✗t❨➬Ú✯. ➷✾❨✙ó✹➭❥▲ê✘➎, ➲✳➷✱✶✎❿80õ ➭, ⑤↕ó. 4 ó✁❬Þ❛⑦ ↕❿✁■➝, ✆✘✬➲✞❨✘➎✁❬. ❻è■ó✁❬Þ④❛⑦. ✁❬Þ④❛ ⑦, ❤❧✹✽✲✁❬✦❿❄❻④✹▼➪④✁❬✠✠✓➅▼➪④✁❬. ✓➅▼ ➪❿➠➠ø✝➬❿➠➠④♦✯➬❿➠➠❳✸④✉➓✂ó❨✵➪❿Gauss④ 9
工作,就是 ds=dx +dy+dz= edu +2 Dudu+Gdu, a=r(u, u),y=yu, u),2=u, u) 这个曲面通常用参数表示,在这个三维空间中,坐标是(x,y,2),于是把 维空间的坐标表示为两个变数的函数,所以x,y,z是两个变数u,v的函 数,我们称之为参数( par ameter).于是这个空间里头有一个短距离ds32,就 是dx2+dy2+d2.把x,y,z表示u,v的函数之后,ds2就变为一个二次的微 分式,其中系数,一般就叫做E,F,G.我们晓得几何开始的时候有 Euclid儿L 何, Euclid儿何很伟大!它是头一本整个的几何,它看出来要有一种公理得 到数学的结论是很重要的,因为数学结论是由一个公理经过一个逻辑的推 理得来.因此,这个是很具体很坚决的一个结论.而且它其实不只是几何 Euclid这个《几何原本》是整个的数学.他看出来由公理用逻辑方法推出结 论的重要性.对于这方面我觉得很惭愧的是,中国没有.我们这个课是应用 数学,对于应用数学,中国太注重应用了,任何东西都一定要有应用.而对 于这样的一个数学大家以为没有什么应用,其实最初你要的是最初做了 点的话,应用会来的,并且应用更重要,更深刻.对于这个二次微分式(2.23) Gas工作就是可以根据这个二次微分式,发展一个几何,这个几何就大 得不得了. Euclid儿何可以它的微分式就是du2+du2,这是一个最简单的情 形.另外一个情况之下就可以发展非欧几何.现在E,F,G是任意函数,再加 上一些适当条件,这个几何的观念广大得不得了.就是说,在三维空间可以 有切面,即切面上的几何,可以不管这个曲面在三维空间里的位置,只考 虑在曲面上的这个几何,它包括 Euclid、非 Euclid儿何等在内,广得了不得 于是,这样的一个发现使得几何有很多,欧氏几何的观念也就推广到一般 的情况.所以,我下次要讲点微积分在几何上的应用.我想今天也许差不多 讲完了,谢谢 10
Ó✯, Ò✹ ds2 = dx2+dy2+dz2 = Edu2+2F dudv+Gdv2 , x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) (2.23) ❨➬▼➪✴➒⑦❦❥✱✰➬ó❨➬➤➅✽✲➙, ✰✮✹(x, y, z), ➉✹➨ ➤➅✽✲④✰✮✱✰➃Ü➬★❥④❁❥, ➘✶x, y, z✹Ü➬★❥u, v④❁ ❥➬➲➣➪❷➃❦❥(par ameter).➉✹❨➬✽✲➦❃❿✘➬áå➡ds2➬Ò ✹dx2 + dy2 + dz2 . ➨x, y, z ✱✰u, v④❁❥❷⑨➬ds2 Ò★➃✘➬✓✬④❻ ■✯, Ù➙ø❥, ✘➘Ò✇✮E, F, G. ➲➣❆③✁❬✌✮④✣⑧❿Euclid✁ ❬➬Euclid✁❬✐➉▲➻➬✹❃✘ýr➬④✁❬, ➬✗ñ✉✞❿✘➠Ú➤③ t❥➛④❼❳✹✐➢✞④➬❖➃❥➛❼❳✹❸✘➬Ú➤➨✱✘➬❭ö④▼ ➤③✉. ❖✩, ❨➬✹✐ä✍✐✯û④✘➬❼❳. ✌✪➬Ù✧❳➄✹✁❬, Euclid❨➬✕✁❬➷ý✖✹r➬④❥➛. ➷✗ñ✉❸Ú➤⑦❭ö✵✛▼ñ❼ ❳④➢✞✉. é➉❨✵➪➲ú③✐♥❝④✹➬➙✮➊❿. ➲➣❨➬✶✹❛⑦ ❥➛, é➉❛⑦❥➛, ➙✮ÔÕ➢❛⑦ê, ⑧❬➚ÜÑ✘➼✞❿❛⑦. ✌é ➉❨ø④✘➬❥➛▲✛✶➃➊❿✤➃❛⑦, Ù✧✦ð✜✞④✹✦ð✮ê✘ ➎④➏, ❛⑦❒✉④, ❄✪❛⑦❮➢✞, ❮ý✴. é➉❨➬✓✬❻■✯(2.23), Gauss④Ó✯Ò✹✱✶✃â❨➬✓✬❻■✯, ✕✵✘➬✁❬, ❨➬✁❬Ò▲ ③❳③ê. Euclid✁❬✱✶➬④❻■✯Ò✹du2 + dv2 , ❨✹✘➬✦❀❭④❁ ♦. ☞✐✘➬❁❨❷✆Ò✱✶✕✵✿◆✁❬. ✙óE, F, G✹⑧❄❁❥, ò✜ Þ✘❏✼❤✣●, ❨➬✁❬④✡✬✒▲③❳③ê. Ò✹⑨, ó➤➅✽✲✱✶ ❿★➪, ý★➪Þ④✁❬➬✱✶❳☛❨➬▼➪ó➤➅✽✲➦④➔➌, ➄✤ ❉ó▼➪Þ④❨➬✁❬, ➬Ý✐Euclid✁✿Euclid✁❬⑧ó✓➬✒③ê❳③. ➉✹, ❨ø④✘➬✕✙✫③✁❬❿✐õ➬◆❁✁❬④✡✬✎Ò▼✒t✘➘ ④❁❨. ➘✶, ➲✆✬✞❨➎❻è■ó✁❬Þ④❛⑦. ➲✳➌✕✎➂❿❳õ, ❨qê, ❭❭➻ 10
第三讲曲线论 2001年10月26 1平面曲线 我想况几次跟大家讲一点微积分在几何上的应用.况是非常要紧的发展 那么,从最简单的情况开始,我们就讲平面上的推线.假设平面上有一条推 线x()=(x1(t),x2(1),即在況个图上所在的情况.用微积分的话呢,就是况 条推线有条切线.切线有个切矢量.对于切矢量,我们取况个矢量是单位矢 量,它的长度是1,也就是取为单位切矢量.于是我们知道假使把坐标x表示 成弧长s的函数的话,况就表示况个单位切矢量就是x对s的微分芸,即单位 切矢量为 qsdx、9,(en,e1)=1,s是弧长eqm0(31) 那么怎么样研般况条切线呢?很简单,那就是有了一个单位切矢量之后,并 假设如果平面是定向的,即有一个转动的方向,那么它就有一个单位法向量, 也就是跟它垂直的那个单位矢量.现在,我叫e1是单位切矢量,e2是单位法 矢量.于是要得到况条切线的性质,第一件事情就是把e1况个函数对于s再求 微分.那么再求微分之后,当然况是一个新的矢量.因为e1是一个单位矢量, 所以(e1,e1)=1.那么把它微分一下子,我们就得到同e1垂直,所以它 定在法线的方向因此我们就有数等于单位法矢量e2的倍数.况个倍数是 弧长的一个函数,我们叫k(s).况个倍数满足 ke2,e2是单位法矢量,(e,e2)=0 32) k况个函数一般叫做推率,是况条推线在况个平面里头最要紧的一个性质, 是弧长的一个函数 在题 对于给定的推线方程,给出推率k的公式.[提示:k是推线方程的一阶和 二阶微分的一个函数
➅➤❨ ▼✧❳ 2001★10Û26❺ 1 ➨➪▼✧ ➲✳❨✁✬❐▲✛❨✘➎❻è■ó✁❬Þ④❛⑦. ❨✹✿➒✞➏④✕✵. ➃, ✱✦❀❭④❁❨✌✮, ➲➣Ò❨➨➪Þ④▼✧. ✧÷➨➪Þ❿✘✣▼ ✧x(t) = (x1(t), x2(t)), ýó❨➬❈Þ➘ó④❁❨. ⑦❻è■④➏✑, Ò✹❨ ✣▼✧❿✣★✧. ★✧❿➬★✪Þ. é➉★✪Þ, ➲➣❘❨➬✪Þ✹❭➔✪ Þ, ➬④➓Ý✹1, ✎Ò✹❘➃❭➔★✪Þ. ➉✹➲➣⑧✇✧✫➨✰✮x✱✰ ➘➀➓s④❁❥④➏, ❨Ò✱✰❨➬❭➔★✪ÞÒ✹x és ④❻■dx ds ,ý❭➔ ★✪Þ➃ e1 = (dx1 ds , dx2 ds ),(e1, e1) = 1, s ✹➀➓. eqno(3.1) ➃✍➃øÏ➘❨✣★✧✑Ú✐❀❭, Ò✹❿ê✘➬❭➔★✪Þ❷⑨, ❄ ✧÷➌✯➨➪✹➼✺④, ý❿✘➬Ý➘④✵✺, ➃➬Ò❿✘➬❭➔✛✺Þ, ✎Ò✹❐➬✒❺④➬❭➔✪Þ. ✙ó, ➲✇e1✹❭➔★✪Þ, e2 ✹❭➔✛ ✪Þ. ➉✹✞③t❨✣★✧④✉➓, ➅✘●✴❁Ò✹➨e1❨➬❁❥é➉sò❋ ❻■. ➃ò❋❻■❷⑨, ❤❧❨✹✘➬❝④✪Þ. ❖➃e1✹✘➬❭➔✪Þ, ➘✶(e1, e1) = 1. ➃➨➬❻■✘✆✝, ➲➣Ò③tde1 ds ✸e1✒❺, ➘✶➬✘ ➼ó✛✧④✵✺. ❖✩, ➲➣Ò❿de1 ds ⑧➉❭➔✛✪Þe2④õ❥. ❨➬õ❥✹ ➀➓④✘➬❁❥, ➲➣✇k(s). ❨➬õ❥✇✖ de1 ds = ke2, e2 ✹❭➔✛✪Þ,(e1, e2) = 0. (3.2) k❨➬❁❥✘➘✇✮▼●, ✹❨✣▼✧ó❨➬➨➪➦❃✦✞➏④✘➬✉➓, ✹➀➓④✘➬❁❥. ó☛: é➉➱➼④▼✧✵➬, ➱ñ▼●k ④Ú✯. [✡✰Õk✹▼✧✵➬④✘⑦❩ ✓⑦❻■④✘➬❁❥] 1