定义4若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程 的阶数相同,且任意常数之间不能合并,则称 此解为该方程的通解(或一般解) 阶微分方程的通解是y=y(x,C) 二阶微分方程的通解是y=y(x,C12C2 n阶微分方程的通解中,必须含有n个任意常数 其通解的图形是平面上的一族曲线,称为积分 曲线族 前页后页结束
前页 后页 结束 此解为该方程的通解（或一般解）． 定义4 若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程 的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称 一阶微分方程的通解是 y y x C = ( , ) 二阶微分方程的通解是 1 2 y y x C C = ( , , ) n阶微分方程的通解中，必须含有n个任意常数． 其通解的图形是平面上的一族曲线，称为积分 曲线族．
定义5如果指定通解中的任意常数为某一固定常数, 那么所得到的解叫做微分方程的特解 如方程y-2y=0的通解是y=Ce2x 而y=e就是一个特解,这里C=1 在具体问题中常数C的值总是根据“预先给定的 条件”而确定的.如例1中的曲线通过点(1,2) 这个“预先给定的条件”叫初始条件 定义6用来确定通解中的任意常数的附加条件一般 称为初始条件当通解中的各任意常数都取 得特定值时所得到的解,称为方程的特解 前页后页结束
前页 后页 结束 定义5 如果指定通解中的任意常数为某一固定常数， 那么所得到的解叫做微分方程的特解． x y Ce2 如方程 y y − = 2 0 的通解是 = 而 x y e 2 = 就是一个特解，这里 C = 1 在具体问题中常数C的值总是根据“预先给定的 条件”而确定的．如例1中的曲线通过点（1 , 2） ， 这个“预先给定的条件”叫初始条件． 称为初始条件．当通解中的各任意常数都取 定义6 用来确定通解中的任意常数的附加条件一般 得特定值时所得到的解，称为方程的特解．
通常情况下, 阶微分方程的初始条件是yx=x=y 区法示图片 即y(x0)=yo 二阶微分方程的初始条件是yx=n=及y1=y 即y(x0)=y与y(x0) 个微分方程与其初始条件构成的向题称为初值问题, 求解其初值问题就是求方程的特解 前页后页结束
前页 后页 结束 通常情况下， 0 0 即 y(x ) = y 二阶微分方程的初始条件是 0 0 y y x x = = 及 0 x x 0 y y = = 即 0 0 y x y ( ) = 与 0 0 y x y ( ) = 一个微分方程与其初始条件构成的问题称为初值问题， 求解其初值问题就是求方程的特解． 0 0 y y x x = 一阶微分方程的初始条件是 =
例2验证函数y=e+e是不是方程 y"-2y+y=0的解 解求y=e2+e的导数,得 e e" te 将y、y及y”代入原方程的左边,有 日ex+e-2ex+2ex+ex+e≠0 即函数y=e+e不满足原方程, 所以该函数不是所给二阶微分方程的解 前页后页结束
前页 后页 结束 x x y e e − 例2 验证函数 = + 是不是方程 y − 2y + y = 0的解. 解 求 x x y e e − = + 的导数，得 , x x y e e − = − x x y e e − = + 将y、y 及y 代入原方程的左边，有 + − 2 + 2 + + 0 x − x x − x x − x e e e e e e 即函数 x x y e e − = + 不满足原方程， 所以该函数不是所给二阶微分方程的解．
例3验证y=Cx是不是方程3y-x=0的通解(C 为任意常数),并求满足初始条件y(1)=的特解 3 解由y=Cx°得y=3Cx 将y和y代入原方程的左边 3Cx3-x3Cx2=0 y=Cx满足原方程 又因为该函数含有一个任意常数, y=Cx是一阶微分方程3y-xy=0的通解 将初始条件y()=代入通解,得C 3 3 故所求特解为y=x3 3 前页后页结束
前页 后页 结束 3 y = Cx 3 y − xy = 0 3 1 y(1) = 解 由 3 y = Cx 得 3 . 2 y = Cx 将y和y 代入原方程的左边 3 3 0 3 2 Cx − x Cx = 3 y = Cx 满足原方程． 又因为该函数含有一个任意常数， 3 y = Cx 是一阶微分方程 3 y − xy = 0 的通解． 为任意常数）, 并求满足初始条件 例3 验证 是不是方程 的通解（C 的特解． 将初始条件 3 1 y(1) = 代入通解，得 3 1 C = 故所求特解为 3 3 1 y = x