例1:证明N={0,1,2,3,4,……}与下列集合等势 A={0,2,4,6,8,}y B={1,3,5,7,9, C={100,10,102103,104, 证:fN-A,fX)=2X gN→>B,g(×)=2X+1 h:N->C,h(x)=10x是双射, 故N与A、B、C等势 可见:无限集合与其真子集等势。 11
11 例1：证明 N={0,1,2,3,4,…...} 与下列集合等势 A={0,2,4,6,8,…...} B={1,3,5,7,9,…...} C={100 ,10,102 ,103 ,104 ,,…...} 证： f:N→A，f(x)=2x g:N→B， g(x)=2x+1 h:N→C， h(x)=10x 是双射， 故N与A、B、C等势 可见：无限集合与其真子集等势
■对于无限集合,可用下面的例子说明 口自然数集合N={0,1,2,}与其子集S={13,}均 为无限集,且N~S; 口可得无限集的一个特性:ScN及S~N 口即表明S是N的一个真子集,并且同时S与N等 势 口这种特性在有限集是不可能存在的。 12
12 ◼ 对于无限集合，可用下面的例子说明 自然数集合N={0,1,2,...}与其子集S={1,3,…}均 为无限集，且N~S； 可得无限集的一个特性：S⊂N及S~N； 即表明S是N的一个真子集，并且同时S与N等 势； 这种特性在有限集是不可能存在的
集合间的等势关系“~”是个等价关系 证明:令S是个集合族(即“所有集合构成的集合”) 在S上的等势关系~,满足: (1)自反性:因为任何集合A,存在双射 A-入A,因此A~A (2)对称性:任何集合A,B,若A~B,有双射 fA→>B,又有双射f1:B→A,所以B~A。 13
13 集合间的等势关系“~”是个等价关系 证明：令S是个集合族(即“所有集合构成的集合”)， 在S上的等势关系~，满足： ⑴自反性：因为任何集合A，存在双射 IA:A→A,因此A~A ⑵对称性：任何集合A,B，若A~B，有双射 f:A→B，又有双射f -1 :B→A，所以B~A
(3传递性:任何集合A、B、C,若A~B,且B~C, 则有双射fA→>B,和双射gB→>C,由函数的复合得 双射:gofA→>C,所以A~C。 所以~是等价关系。 按照等势关系“~”对集合族S,进行划分,得 到商集S,进而得到基数类的概念。 14
14 ⑶传递性：任何集合A、B、C，若A~B，且B~C， 则有双射f:A→B，和双射g:B→C，由函数的复合得 双射： g◦f:A→C，所以A~C。 所以~是等价关系。 按照等势关系“~”对集合族S，进行划分，得 到商集S/~，进而得到基数类的概念
定理4.7一个集合为无限集,则它必会有与它等势 的真子集。 ■说明 口1无限集的另一个定义; 口2该无限集减去这个真子集后得到的差集,可以是无限 集,可以是有限集。 设M是一个无限集,现在需要证明: 口必存在另一个无限集M,M=M且M~M; 口因为M不一定是可列集,因此才要这样证明,即M= 个可列集U另一个集合。 15
15 定理4.7 一个集合为无限集，则它必会有与它等势 的真子集。 ◼ 说明： 1.无限集的另一个定义； 2.该无限集减去这个真子集后得到的差集，可以是无限 集，可以是有限集。 ◼ 设M是一个无限集，现在需要证明： 必存在另一个无限集M’，M⊃ M’且M~ M’ ； 因为M不一定是可列集，因此才要这样证明，即M=一 个可列集⋃另一个集合