上渐定通大学 SHANGHAI JIAO TONG UNIVERSITY
(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 、二次型及其标准形的概念 定义:含n个变量的x1,x2,…,Xn二次齐次函数 19~299 =a1+2an12x1x2+2a13x1x3+…+2a1nx1Cn +a2x2+2a23x2x3+…+2a2nx2xn +…+ ar称为二次型 当a1是复数时,称为复二次型; 当a1是实数时,称为实二次型 例如 f(x1,x2,x3)=2x2+4x2+5x3-4x1x3 f(1, x2, x3)=x1-x2+x,*3+x2x3 口口口都为二次型;
一、二次型及其标准形的概念 ( 1 2 ) 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 22 2 23 2 3 2 2 2 , , , 2 2 2 + 2 2 n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x = + + + + + + + + + 称为二次型. 当a 是复数时, f称为 ; ij 复二次型 当a 是实数时, f称为 . ij 实二次型 定义：含n个变量的 x x x 1 2 , , , n 二次齐次函数 例如 ( ) 1 3 2 3 2 2 2 1 2 3 1 f x , x , x = 2x + 4x + 5x − 4x x 都为二次型； ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2 3 f x , x , x = x x + x x + x x
(上潇文大字 二次型的表示方法 1.用和号表示 对二次型 ∫ 192 n =a1x1+212x1x2+2013x1x3+…+2a1nx1xn +l,r2 +2a +∴+2a 2n"2-n nn n Exa=i, 2axx =a;xix, +aix? 于是 f=auxi +anX,x2+ n n F a21x2x1ta22x2t'.+a2nx2xn 十a,xX1+anxx+:+anx n n nn n =∑aix;x
1．用和号表示 对二次型 a a , 取 ji = ij 于是 a x a x x a n x xn f 12 1 2 1 1 2 = 11 1 + + . , 1 a xi x j n i j = ij = a x x a x a2n x2 xn 2 + 21 2 1 + 22 2 + 2 + an1 xn x1 + an2 xn x2 + ann xn 二次型的表示方法 ( 1 2 ) 2 11 1 12 1 2 13 1 3 1 1 2 2 22 2 23 2 3 2 2 , , , 2 2 2 + 2 2 n n n n n nn n f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x = + + + + + + + + + 2 , a x x a x x a x x ij i j ij i j ji j i = +
(上定关孝 2.用矩阵表示 f =x1(1x1+a12X,+…+a1x,)+ 11 1 x2(a21x1+a2x2+…+a2nn)+…+ x(anx, +an2x2+.+anxn) 1x1+a12x2+……+a1nx a21x1+a22X2+…+a2 11 x19X2,…9Xn n1x1+an2X2+…+amXn n n x ax 1,~2 n nI n2 n 记为A称为二次型的矩阵
2．用矩阵表示 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nn n f x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x = + + + + + + + + + + + + + + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x x 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1 1 2 ( , , , ) ( ) = n n nn n n n n x x x a a a a a a a a a x x x 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 1 2 , , , T = x Ax 记为A,称为二次型的矩阵， A为对称矩阵 记为x
(上定关孝 SHANGHAI JLAO TONG UNIVERSITY 二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型, 就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对 称矩阵,也可唯一地确定一个二次型.这样,二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 对称矩阵A叫做二次型∫的矩阵; ∫叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵4的秩叫做二次型∫的秩
二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系． 对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型; 对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩