紧接着发生了更为严重的情况,来了无穷多个具有无穷多 名游客的旅游团,怎么办? 口第一个旅游团客人按如下房间编号住 3.32.3 3 口第二个旅游团客人住的房间编号为 5.52.5 口接着是
6 ◼ 紧接着发生了更为严重的情况，来了无穷多个具有无穷多 名游客的旅游团，怎么办？ 第一个旅游团客人按如下房间编号住 第二个旅游团客人住的房间编号为 接着是 3, 3 2 , 3 3 , , 3 n , 5, 5 2 , 5 3 , , 5 n , 7, 7 2 , 7 3 , , 7 n ,
■这样不仅安排了无穷多个旅游团的住宿,而且还 空出了很多房间! 无限多个房间可住无穷多个具有无穷多个游客的 旅游团! 对于一个无穷集合,向其中添加有限个元素,甚至 “无穷多个”元素得到的新集合,其势不变 一个集合A,若真子集B:BCA,B与A等势,则A 一定是无限集
7 ◼ 这样不仅安排了无穷多个旅游团的住宿，而且还 空出了很多房间！ ◼ 无限多个房间可住无穷多个具有无穷多个游客的 旅游团！ 对于一个无穷集合，向其中添加有限个元素，甚至 “无穷多个”元素得到的新集合，其势不变 一个集合A，若真子集B ：B⊂A，B与A等势，则A 一定是无限集
Hilbert旅馆的内涵 口如果把自然数集合中的元素数量记为z,那么z不管加 上多大的数,乘以多少,它始终是一个无穷,不会变 大或变小。 ■问题:自然数和平方数谁要更多 口用普通人的眼光来看,前10个数字中不过4和9两个数, 前100个数中也不过10个; 口再往后,平方数在自然数中所占的比例越来越小; 口但是从另一个角度看,每一个自然数都对应着一个平 方数; 口所以,自然数和平方数是一样多的,这“一一对应”的 规则也就是判断集合是否一样大的标准
8 ◼ Hilbert旅馆的内涵 如果把自然数集合中的元素数量记为z， 那么z不管加 上多大的数，乘以多少，它始终是一个无穷，不会变 大或变小。 ◼ 问题：自然数和平方数谁要更多。 用普通人的眼光来看，前10个数字中不过4和9两个数， 前100个数中也不过10个； 再往后， 平方数在自然数中所占的比例越来越小； 但是从另一个角度看，每一个自然数都对应着一个平 方数； 所以，自然数和平方数是一样多的， 这 “一一对应” 的 规则也就是判断集合是否一样大的标准
任何一个有限集合不能与其真子集等势。 另一种有限集、无限集的定义方法; 定义:如果存在一一对应的fS→S,使得f(S)cS, 即fS)是S的真子集,则S是无限集合,否则S是有 限集合
9 任何一个有限集合不能与其真子集等势。 ◼ 另一种有限集、无限集的定义方法； ◼ 定义：如果存在一一对应的f: S→S，使得f(S)⊂S， 即f(S)是S的真子集，则S是无限集合，否则S是有 限集合
定理4.1自然数集N是无限集。 ■证明:设函数fN→N,定义为f(x)=2X,显然是 对应,而且f(N)cN,因此N是无限集。 定理4.2常数集R是无限集。 ■证明:设函数R→R,为 显然f(x)是一一对应的 x+1x≥0而且显然有f(R)cR,因 f(x)= 0 此R是无限的。 X 4 10
10 定理4.1 自然数集N是无限集。 ◼ 证明：设函数f: N→N，定义为f(x)=2x，显然f是一 一对应，而且f(N)⊂N ，因此N是无限集。 定理4.2 常数集R是无限集。 ◼ 证明：设函数f: R→R，为 显然f(x)是一一对应的， 而且显然有f(R)⊂R，因 此R是无限的