例2.求方程y”-5y'+6y=xe2的通解 解：本题2=2，特征方程为，2-5r+6=0,其根为 1=222=3 对应齐次方程的通解为Y=C1e2+C2e 设非齐次方程特解为y*=x(b,x+b)e2 代入方程得-2bx-b+2b0=x 比较系数，得 2。一=-4-1 因此特解为y*=x(-3x-1)e2 所求通解为y=Ce2+C2ex-(x2+x)e2x HIGH EDUCATION PRESS DeOC8 机动目录上页下页返回结束
例2. 的通解. 解: 本题 特征方程为 5 6 0 , 2 r − r + = 其根为 对应齐次方程的通解为 设非齐次方程特解为 x y x b x b e 2 0 1 * = ( + ) 比较系数, 得 , 1 2 1 b0 = − b1 = − 因此特解为 * ( 1) . 2 2 1 x y = x − x − e 代入方程得 − b x −b + b = x 2 0 1 2 0 所求通解为 ( ) . 2 2 2 1 x − x + x e = 2, 机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、f(x)=e2x[P(x)cos@x+-pn(x)sin@x]型 分析思路 第一步将f(x)转化为 f(x)=P(x)e()x+(x)e(i)x 第二步求出如下两个方程的特解 y"+py'+qy=Pu(x)e(tio)x y”+py+9y=Pm(x)e+ion 第三步利用叠加原理求出原方程的特解 第四步分析原方程特解的特点 HIGH EDUCATION PRESS 页下页返回结束
二、 f x e x Pl x x Pn (x)sin x 型 ~ ( ) = ( )cos + = + +i x f x Pm x e ( ) ( ) ( ) i x Pm x e ( ) ( ) + 第二步 求出如下两个方程的特解 i x m y py qy P x e ( ) ( ) + + + = y + py + qy = 分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为 第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点 i x mP x e ( ) ( ) + 机动 目录 上页 下页 返回 结束
第一步利用欧拉公式将f(x)变形 -e eiox-e -10x +F(x) 2 2i e(ti) 令m=max{n,1},则 f(x)=Pn(x)e(+(xe()x =P(x)(+P(x) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形 = x f x e ( ) = + i P x P x l n 2 ( ) ~ 2 ( ) i x e (+ ) + − i P x P x l n 2 ( ) ~ 2 ( ) i x e (− ) = + +i x f x Pm x e ( ) ( ) ( ) i x mP x e ( ) ( ) − = + +i x Pm x e ( ) ( ) i x mP x e ( ) ( ) + 令 m = maxn, l ,则 P (x) l 2 i x i x e e − + ( ) ~ P x + n − − i e e i x i x 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束