例2已知函数值表 Xy 23 4 4 52 试求在区间1,5上满足上述函数表所给出的插值条件的 三次样自然样条插值函数S(x) 解用 Matlab求解s(x).程序为: x=[1245 [013420]; pp=csape(x, y, second Breaks, coefs, npolys, ncoefs, dim]=unmkpp(pp)
例 ２ 已 知 函 数 值 表 xi 1 2 4 5 yi 1 3 4 2 [ ] s x( ). 试 求 在 区 间１,5 上 满 足 上 述 函 数 表 所 给 出 的 插 值 条 件 的 三 次 样 自 然 样 条 插 值 函 数 解 用Matlab 求 解s(x). 程 序 为： x=[ １ ２ ４ ５]; y=[ ０ １ ３ ４ ２ ０]; pp=csape(x,y,'second') [breaks,coefs,npolys,ncoefs,dim]=unmkpp(pp)
运行结果如下: pp form: pp breaks: [1 245 coefs:[3×4 double] pleces order 4 dim: 1
运行结果如下： pp= form:'pp' breaks:[1 2 4 5] coefs:[3 4 double] pieces:3 order:4 dim:1
breaks 1245 coefs= 0.12500 2.12501.0000 0.1250-0.37501.75003.0000 0.3750-1.1250-1.25004.0000 因此所求的三次样条函数为 -0.125(x-1)3+2.125(x-1)+1 x∈[12 s(x)=1-0125(x-2)3-0375(x-2)2+1.75(x-2)+3x∈[24 0.375(x-4)3-1.125x-4)2-125(x-4)+4, x∈
3 3 2 3 2 1) 2.125( 1) 1, [1,2] 0.125( 2) 0.375( 2) 1.75( 2) 3, [2,4] ( 4) 1.125( 4) 1.25( 4) 4, [4,5] x x x s x x x x x x x x x − + − + − − − − + − + − − − − − + 因此所求的三次样条函数为 -0.125( ( )= 0.375 breaks= 1 2 4 5 coefs= -0.1250 0 2.1250 1.0000 -0.1250 -0.3750 1.7500 3.0000 0.3750 -1.1250 -1.2500 4.0000
维插值总结 插值函数一般是已知函数的线性组合或者称为加权平均。在已知数据点较少 时,插值技术在工程实践和科学实验中有着广泛而又十分重要的应用。例如在 信息技术中的图像重建、图像放大过程中为避免图像失真、扭曲而增加的插值 补点,建筑工程的外观设计,化学工程试验数据与模型分析,天文观测数据、 地理信息数据的处理,社会经济现象的统计分析等方面,插值技术的应用是不 可或缺的。 插值技术(或方法)远不止这里所介绍的这些,但在解决实际问题时,对于 位插值问题而言,前面介绍的插值方法已经足够了。剩下的问题关键在于什么 情况下使用、怎样使用和使用何种插值方法的选择上。 拉格朗日插值函数在整个插值区间上有统一的解析表达式,其形式关于节点对 称,光滑性好。但缺点同样明显,这主要体现在高次插值收敛性差(龙格现 象);增加节点时前期计算作废,导致计算量大;一个节点函数值的微小变化 (观测误差存在)将导致整个区间上插值函数都发生改变,因而稳定性差等几 个方面。因此拉格朗日插值法多用于理论分析,在采用拉格朗日插值方法进行 插值计算时通常选取n<7。分段线性插值函数(仅连续)与三次样条插值函数 (二阶导数连续)虽然光滑性差,但他们都克服了拉格朗日插值函数的缺点, 不仅收敛性、稳定性强,而且方法简单实用,计算量小。因而应用十分广泛
一维插值总结 插值函数一般是已知函数的线性组合或者称为加权平均。在已知数据点较少 时，插值技术在工程实践和科学实验中有着广泛而又十分重要的应用。例如在 信息技术中的图像重建、图像放大过程中为避免图像失真、扭曲而增加的插值 补点，建筑工程的外观设计，化学工程试验数据与模型分析，天文观测数据、 地理信息数据的处理，社会经济现象的统计分析等方面，插值技术的应用是不 可或缺的。 插值技术（或方法）远不止这里所介绍的这些，但在解决实际问题时，对于一 位插值问题而言，前面介绍的插值方法已经足够了。剩下的问题关键在于什么 情况下使用、怎样使用和使用何种插值方法的选择上。 拉格朗日插值函数在整个插值区间上有统一的解析表达式，其形式关于节点对 称，光滑性好。但缺点同样明显，这主要体现在高次插值收敛性差（龙格现 象）；增加节点时前期计算作废，导致计算量大；一个节点函数值的微小变化 （观测误差存在）将导致整个区间上插值函数都发生改变，因而稳定性差等几 个方面。因此拉格朗日插值法多用于理论分析，在采用拉格朗日插值方法进行 插值计算时通常选取n < 7。分段线性插值函数（仅连续）与三次样条插值函数 （二阶导数连续）虽然光滑性差，但他们都克服了拉格朗日插值函数的缺点， 不仅收敛性、稳定性强，而且方法简单实用，计算量小。因而应用十分广泛
2、数据拟合 在科学计算中经常要建立实验数据的数学模型。给定函数的实 验数据,需要用比较简单和合适的函数来逼近(或拟合)实验 数据。这种逼近的特点是: (a)适度的精度是需要的 (b)实验数据有小的误差; (c)对于某些问题,可能有某些特殊的信息能够用来选择实验数 据的数学模型。 逼近离散数据的基本方法就是曲线拟合,常采用最小二乘拟合 曲线拟合问题的数学描述是,已知一组(二维)数据(xyi) j=1,2,。。。,n(即平面上的n个点(x,y),j=1,2,。。,n),xi 互不相同。寻求一个函数(曲线)y=f(x),使f(x)在某种准则下 与所有数据点最为接近,即曲线拟合得最好。 最小二乘拟合分为线性最小二乘拟合和非线性最小二乘拟合
2、数 据 拟 合 在科学计算中经常要建立实验数据的数学模型。给定函数的实 验数据，需要用比较简单和合适的函数来逼近（或拟合）实验 数据。这种逼近的特点是： (a) 适度的精度是需要的； (b) 实验数据有小的误差； (c) 对于某些问题，可能有某些特殊的信息能够用来选择实验数 据的数学模型。 逼近离散数据的基本方法就是曲线拟合，常采用最小二乘拟合 曲线拟合问题的数学描述是，已知一组（二维）数据(xi,yi ) ， i = 1,2,。。。,n（即平面上的n个点(xi, yi ) ，i = 1,2,。。,n），x i 互不相同。寻求一个函数（曲线） y = f (x)，使f (x)在某种准则下 与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好。 最小二乘拟合分为线性最小二乘拟合和非线性最小二乘拟合