第五章大数定律及中心极限定理 §1大数定律 §1大数定律 在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性， 还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。 定义1： 设Y1,.,Yn,. 是随机变量序列，a是一个常数； 若对任意g>0,有：lim P(lyn-ake}=1 则称Y1,.,Yn,.依概率收敛于a,记为YnP→a。 定义 设X,X.是随机变量序列，令y,=之X， n k= 若存在常数序列a,.,an,.使对任意>0，有 lim pfly-a =1,lim p(ly -a=0, 则称X,}服从大数定律。 合】返回主目录
§1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 §1.大数定律 在实践中，不仅事件发生的频率具有稳定性， 还有大量测量值的算术平均值也具有稳定性。 设X1 ,, Xn , 是随机变量序列，令 = = n k n Xk n Y 1 1 ， 若存在常数序列a1 ,,an , 使对任意 0 ，有 lim {| − | } = 1 − n n n P Y a ，或lim {| − | } = 0 − n n n P Y a ， 定义1： 设 是随机变量序列， 是一个常数； 若对任意 ，有: 则称 依概率收敛于 ，记为 。 Y1 , ,Yn , 0 lim {| − | } = 1 → P Y a n n Y1 , ,Yn , Y a P n ⎯→ a a 定义2： 则称{ } Xn 服从大数定律。 返回主目录
第五章大数定律及中心极限定理 §1大数定律 定理1：若XnPa,ynPb,g(x,)在点a,)连续， 则：gxn,n)P→ga,)。 定理2（切比晓夫定理的特殊情况） 设随机变量X,.,X,.相互独立，且具有相同的数学 期望及方差，FX=山，DX=o,k=12,令y,=∑X, 则：对任意的e>0,有： 4-水c2x,-水=l 或mPI∑X.-u=0 合返回主目录
§1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 定理 2（切比晓夫定理的特殊情况） 设随机变量 X1 ,, Xn , 相互独立，且具有相同的数学 期望及方差， E Xk = ，DXk = 2 ，k = 1,2,，令 = = n k n Xk n Y 1 1 ， 则：对任意的 0 ，有: | } 1 1 lim {| | } lim {| 1 − = − = = − − n k k n n n X n P Y P 或 | } 0 1 lim {| 1 − = = − n k k n X n P 若 a P Xn ⎯⎯→ ， b P Yn ⎯⎯→ ， 在点 连续， 则： ( , ) g(a,b) P g Xn Yn ⎯⎯→ 。 定理1： g(x, y) (a,b) 返回主目录
第五章大数定律及中心极限定理 §1大数定律 证：1 (2x,)2x,=之u=A n k=1 n k=1 n k=1 2x)=宫x,=7m=。 n k=1 由切比晓夫不等式得：P1∑X-K≥1 k=1 当n→o时，PI∑X:-u水ke=1。 合】返回主目录
证： = = = = = = n k n k k n k k n EX n X n E 1 1 1 1 1 ) 1 ( 2 2 2 1 2 1 1 1 1 ) 1 ( n n n DX n X n D n k k n k k = = = = = | } 1 1 {| 1 → − = = n k X k n 当n 时，P 。 §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 由切比晓夫不等式得： 2 2 1 | } 1 1 {| n X n P n k k − − = 返回主目录
第五章大数定律及中心极限定理 定理3（贝努里大数定律） §1大数定律 设n4是n次独立重复试验中事件A发生的次数， p是事件A发生的概率， 则：对任意的ε>0，有 lim Pl24-pk=1或lmP1”4-pe}=0 ->d 「0，在第次试验中A不发生 证：令X:=儿，春第次试验中A发生 ，k=1,2,n ,-三，且X儿相互独立同服从于0=1汾布 故EXk=p,DXk=p(1-p),k=1,2,n,. 由定理2有mP1,∑X,-pK}=1 n i= 即 mP1”4-pk=1。此定理说明了频率的稳定性
证：令 k n k A k A Xk 1,2, , 1 0 = = ， ，在第 次试验中 发生 ，在第 次试验中 不发生 定理 3（贝努里大数定律） 设nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数， p 是事件 A 发生的概率， 则：对任意的 0，有 lim {| − | } = 1 − p n n P A n 或 lim {| − | } = 0 − p n n P A n 故 EXk = p，DXk = p(1− p)，k = 1,2, ,n, | } 1 1 lim {| 1 − = = − X p n P n i i n , §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 由定理2有 即 lim {| − | } = 1 − p n n P A n 。此定理说明了频率的稳定性。 则 = = n k nA Xk 1 ，且X Xn , , 1 相互独立同服从于( 0 −1)分布
第五章大数定律及中心极限定理 §1大数定律 定理4（辛钦大数定律） 设X,X,.相互独立同分布，且具有 数学期望EX=4,k=1,2,.,n,., 则：对任意的ε>0，有 lim Pl-Xuk)=1 n->0 n i=l 注：贝努里大数定律是辛饮大数定律的特殊情况。 合】返回主目录
定理 4（辛钦大数定律） 设 X1 ,, Xn , 相互独立同分布，且具有 数学期望EXk = ，k = 1,2,,n,， 则：对任意的 0，有 | } 1 1 lim {| 1 − = = − n i i n X n P §1 大数定律 第五章 大数定律及中心极限定理 注：贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。 返回主目录