正交矩阵与正交变换 1.定义4P.116):称n阶方阵A为正交阵，若AA=E(即AI=A-1方 2 cos 0 2. -sin sin cos0 (P.32) 3.正交矩阵的若干性质：设A为n阶方阵.则有： (1).A为正交阵当且仅当AT是正交阵.（证因AA=E台A4=E (2).A为正交阵当且仅当A-1是正交阵 (3).设P,Q为同阶的正交阵，则PQ为正交阵 设为年，0=1 5红为正库当日仅当的#个列（行）两两正定的单也向组 聘同济大举 Jue320157136
正交矩阵与正交变换 1. 定义 4(P.116): 称 n 阶方阵 A 为正交阵, 若 A TA = E (即 A T = A −1 ); 2. 例:P = 1 3 1 2 2 2 1 −2 2 −2 1 , Q = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) ( P.32) 3. 正交矩阵的若干性质: 设 A 为 n 阶方阵. 则有: (1). A 为正交阵当且仅当 A T 是正交阵.(证: 因 A TA = E ⇔ AAT = E) (2). A 为正交阵当且仅当 A −1 是正交阵. (3). 设 P, Q 为同阶的正交阵, 则 PQ 为正交阵. (4). 设 A 为正交阵，则 |A| 2 = 1. (5). A 为正交阵当且仅当 A 的 n 个列 (行) 是两两正交的单位向量 䇷: A TA 的 (i, j) 元 = A 的第 i 列与第 j 列的内积. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 7 / 35
正交矩阵与正交变换 1.定义4P.116):称n阶方阵A为正交阵，若AA=E(即AI=A-1方 2 ,0= cos0 2. -sin sin cos0 (P.32) 3.正交矩阵的若干性质：设A为n阶方阵.则有： (1).A为正交阵当且仅当AT是正交阵.（证因AA=E台A4=E (2).A为正交阵当且仅当A-1是正交阵 (3).设P,Q为同阶的正交阵，则PQ为正交阵 (4).设A为正交阵，则42=1. 5L为库当且仅当的个列（行）两两正交的用也向里 正目的任，】远三的第为与第列的内配 聘同济大举 Jue320157136
正交矩阵与正交变换 1. 定义 4(P.116): 称 n 阶方阵 A 为正交阵, 若 A TA = E (即 A T = A −1 ); 2. 例:P = 1 3 1 2 2 2 1 −2 2 −2 1 , Q = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) ( P.32) 3. 正交矩阵的若干性质: 设 A 为 n 阶方阵. 则有: (1). A 为正交阵当且仅当 A T 是正交阵.(证: 因 A TA = E ⇔ AAT = E) (2). A 为正交阵当且仅当 A −1 是正交阵. (3). 设 P, Q 为同阶的正交阵, 则 PQ 为正交阵. (4). 设 A 为正交阵，则 |A| 2 = 1. (5). A 为正交阵当且仅当 A 的 n 个列 (行) 是两两正交的单位向量 䇷: A TA 的 (i, j) 元 = A 的第 i 列与第 j 列的内积. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 7 / 35
正交矩阵与正交变换 1.定义4P.116):称n阶方阵A为正交阵，若AA=E(即AI=A-1方 1 2 2 2. 例：P= ，Q= -sin 0 sin cos0 (P.32) 3.正交矩阵的若干性质：设A为n阶方阵.则有： (1).A为正交阵当且仅当AT是正交阵.（证因AA=E台A4=E (2).A为正交阵当且仅当A-1是正交阵 (3).设P,Q为同阶的正交阵，则PQ为正交阵 (4).设A为正交阵，则42=1. (⑤).A为正交阵当且仅当A的n个列（行）是两两正交的单位向量 正的任刀远=的第为好第)为的因 聘同济大举 Jue320157136
正交矩阵与正交变换 1. 定义 4(P.116): 称 n 阶方阵 A 为正交阵, 若 A TA = E (即 A T = A −1 ); 2. 例:P = 1 3 1 2 2 2 1 −2 2 −2 1 , Q = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) ( P.32) 3. 正交矩阵的若干性质: 设 A 为 n 阶方阵. 则有: (1). A 为正交阵当且仅当 A T 是正交阵.(证: 因 A TA = E ⇔ AAT = E) (2). A 为正交阵当且仅当 A −1 是正交阵. (3). 设 P, Q 为同阶的正交阵, 则 PQ 为正交阵. (4). 设 A 为正交阵，则 |A| 2 = 1. (5). A 为正交阵当且仅当 A 的 n 个列 (行) 是两两正交的单位向量 䇷: A TA 的 (i, j) 元 = A 的第 i 列与第 j 列的内积. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 7 / 35
正交矩阵与正交变换 1.定义4P.116):称n阶方阵A为正交阵，若AA=E(即AI=A-1方 12 2 cos0 2. 例：P=3 ，0= -sin 0 sin cos0 （P.32) 3.正交矩阵的若干性质：设A为n阶方阵.则有： (1).A为正交阵当且仅当AT是正交阵.（证因AA=E台A4=E (2).A为正交阵当且仅当A-1是正交阵 3).设P,Q为同阶的正交阵，则PQ为正交阵 (4).设A为正交阵，则42=1. (⑤).A为正交阵当且仅当A的n个列（行）是两两正交的单位向量 证：A的(i,)元=A的第i列与第j列的内积 聘同济大举 Jue320157136
正交矩阵与正交变换 1. 定义 4(P.116): 称 n 阶方阵 A 为正交阵, 若 A TA = E (即 A T = A −1 ); 2. 例:P = 1 3 1 2 2 2 1 −2 2 −2 1 , Q = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) ( P.32) 3. 正交矩阵的若干性质: 设 A 为 n 阶方阵. 则有: (1). A 为正交阵当且仅当 A T 是正交阵.(证: 因 A TA = E ⇔ AAT = E) (2). A 为正交阵当且仅当 A −1 是正交阵. (3). 设 P, Q 为同阶的正交阵, 则 PQ 为正交阵. (4). 设 A 为正交阵，则 |A| 2 = 1. (5). A 为正交阵当且仅当 A 的 n 个列 (行) 是两两正交的单位向量 䇷: A TA 的 (i, j) 元 = A 的第 i 列与第 j 列的内积. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 7 / 35
正交矩阵与正交变换 1.定义4P.116):称n阶方阵A为正交阵，若AA=E(即AI=A-1方 12 2 cos0 2. 例：P=3 ，0= -sin 0 sin cos0 （P.32) 3.正交矩阵的若干性质：设A为n阶方阵.则有： (1).A为正交阵当且仅当AT是正交阵.（证因AA=E台A4=E (2).A为正交阵当且仅当A-1是正交阵 3).设P,Q为同阶的正交阵，则PQ为正交阵 (4).设A为正交阵，则42=1. (⑤).A为正交阵当且仅当A的n个列（行）是两两正交的单位向量 证：A的(i,)元=A的第i列与第j列的内积 聘同济大举 Jue320157136
正交矩阵与正交变换 1. 定义 4(P.116): 称 n 阶方阵 A 为正交阵, 若 A TA = E (即 A T = A −1 ); 2. 例:P = 1 3 1 2 2 2 1 −2 2 −2 1 , Q = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) ( P.32) 3. 正交矩阵的若干性质: 设 A 为 n 阶方阵. 则有: (1). A 为正交阵当且仅当 A T 是正交阵.(证: 因 A TA = E ⇔ AAT = E) (2). A 为正交阵当且仅当 A −1 是正交阵. (3). 设 P, Q 为同阶的正交阵, 则 PQ 为正交阵. (4). 设 A 为正交阵，则 |A| 2 = 1. (5). A 为正交阵当且仅当 A 的 n 个列 (行) 是两两正交的单位向量 䇷: A TA 的 (i, j) 元 = A 的第 i 列与第 j 列的内积. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 7 / 35