施密特正交化过程 L.问题：设给定一线性无关向量组{a1,…,a},求作：一新向量组{b1,…,b,}满足： (1,{b1,·,b,}是一个正交向量组； (2).对任意k(1≤k≤r),子组{b1,·,b}与{a1,…,a}等价 2.解法：施密特正交化过程步骤：取（其中诸x)均为待定： b1=a1 b2=x21b1+a2 (0b3=x31b1+x32b2+a3 (递归构造) b =xr1b1 +xr2b2+...+xr(r-1)br-1+ar 聘同济大举 Jue520155/35
施密特正交化过程 1. 问题: 设给定一线性无关向量组 {a1, · · · , ar}, 求作: 一新向量组 {b1, · · · , br} 满足: (1). {b1, · · · , br} 是一个正交向量组; (2). 对任意 k(1 ≤ k ≤ r), 子组 {b1, · · · , bk} 与 {a1, · · · , ak} 等价. 2. 解法: 施密特正交化过程步骤: 取 (其中诸 xij) 均为待定: (I) b1 = a1 b2 = x21b1 + a2 b3 = x31b1 + x32b2 + a3 · · · br = xr1b1 + xr2b2 + · · · + xr(r−1)br−1 + ar (递归构造) ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 5 / 35
5.例：己知a1 求一组非零向量a2,ag使a1,a2,a3两两正交. 解 a2,a3应满足方程a1x=0,即1十2+3=0，它的基础解系为： 0 6= 把基础解系正交化，即为所求，亦即取 a2=51,a3=5- 经5 其中[5,2]=1，[51，]=2，于是有： -()()()-() 聘同济大举 ut52056/35
5. 例: 已知 a1 = 1 1 1 , 求一组非零向量 a2, a3 使 a1, a2, a3 两两正交． 䀙: a2, a3 应满足方程 a T 1x = 0，即 x1 + x2 + x3 = 0, 它的基础解系为: ξ1 = 1 0 −1 , ξ2 = 0 1 −1 . 把基础解系正交化，即为所求．亦即取 a2 = ξ1, a3 = ξ2 − [ξ1,ξ2] [ξ1,ξ1] ξ1 其中 [ξ1, ξ2] = 1, [ξ1, ξ1] = 2, 于是有: a2 = 1 0 −1 ; a3 = 0 1 −1 − 1 2 1 0 −1 = 1 2 −1 2 −1 . ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 6 / 35
正交矩阵与正交变换 1.定义4P.116):称n阶方阵A为正交阵，若AA=E画= 2P=21- 050 -sin P.32) -1 3.正更库的若干住项设1为拉价厅库创有 ,为正交阵当仅当见正车证因=E海= 2.为正降当开仅当4一是正义库 日的 端同济大举 Ju5.2057/35
正交矩阵与正交变换 1. 定义 4(P.116): 称 n 阶方阵 A 为正交阵, 若 A TA = E (即 A T = A −1 ); 2. 例:P = 1 3 1 2 2 2 1 −2 2 −2 1 , Q = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) ( P.32) 3. 正交矩阵的若干性质: 设 A 为 n 阶方阵. 则有: (1). A 为正交阵当且仅当 A T 是正交阵.(证: 因 A TA = E ⇔ AAT = E) (2). A 为正交阵当且仅当 A −1 是正交阵. (3). 设 P, Q 为同阶的正交阵, 则 PQ 为正交阵. (4). 设 A 为正交阵，则 |A| 2 = 1. (5). A 为正交阵当且仅当 A 的 n 个列 (行) 是两两正交的单位向量 䇷: A TA 的 (i, j) 元 = A 的第 i 列与第 j 列的内积. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 7 / 35
正交矩阵与正交变换 1.定义4P.116):称n阶方阵A为正交阵，若AA=E(即AI=A-1)方 2 2. cos 0 -sin sin cos0 (P.32) 3.正交矩阵的若干性质：设A为n阶方阵.则有： (1).A为正交阵当且仅当AT是正交阵.（证因AA=E台A4=E) 2,为正交阵当月仅当一是正明 3现P0同聊的正安时，则0为正文所 聘同济大举 Ju5.2057/35
正交矩阵与正交变换 1. 定义 4(P.116): 称 n 阶方阵 A 为正交阵, 若 A TA = E (即 A T = A −1 ); 2. 例:P = 1 3 1 2 2 2 1 −2 2 −2 1 , Q = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) ( P.32) 3. 正交矩阵的若干性质: 设 A 为 n 阶方阵. 则有: (1). A 为正交阵当且仅当 A T 是正交阵.(证: 因 A TA = E ⇔ AAT = E) (2). A 为正交阵当且仅当 A −1 是正交阵. (3). 设 P, Q 为同阶的正交阵, 则 PQ 为正交阵. (4). 设 A 为正交阵，则 |A| 2 = 1. (5). A 为正交阵当且仅当 A 的 n 个列 (行) 是两两正交的单位向量 䇷: A TA 的 (i, j) 元 = A 的第 i 列与第 j 列的内积. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 7 / 35
正交矩阵与正交变换 1.定义4P.116):称n阶方阵A为正交阵，若AA=E(即AI=A-1方 (）-( 2 2.例P= cos 0 -sin sin cos0 (P.32) 3.正交矩阵的若干性质：设A为n阶方阵.则有： (1).A为正交阵当且仅当AT是正交阵.（证因AA=E台A4=E) (2).A为正交阵当且仅当A-1是正交阵 3现PQ为同明的正安，则0为正支 L设为年，的团三1 聘同济大举 Ju5.2057/35
正交矩阵与正交变换 1. 定义 4(P.116): 称 n 阶方阵 A 为正交阵, 若 A TA = E (即 A T = A −1 ); 2. 例:P = 1 3 1 2 2 2 1 −2 2 −2 1 , Q = ( cos θ − sin θ sin θ cos θ ) ( P.32) 3. 正交矩阵的若干性质: 设 A 为 n 阶方阵. 则有: (1). A 为正交阵当且仅当 A T 是正交阵.(证: 因 A TA = E ⇔ AAT = E) (2). A 为正交阵当且仅当 A −1 是正交阵. (3). 设 P, Q 为同阶的正交阵, 则 PQ 为正交阵. (4). 设 A 为正交阵，则 |A| 2 = 1. (5). A 为正交阵当且仅当 A 的 n 个列 (行) 是两两正交的单位向量 䇷: A TA 的 (i, j) 元 = A 的第 i 列与第 j 列的内积. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 7 / 35