4.定义5P.116)正交变换：若P为正交阵，则称把列向量x变为y=Px的变换称为正交 变换 5性质正变换保内积《从面保长度)面P,阳=， 证用内积的矩件表示法P阳=（公=xPP=x=压， 金侧：到别而距年地音为交 11 巴考唐来一单向量，使出写 1=11-1.1.0=1.-1.一1,1.0=2.1.1.3 通 聘同济大举 Jue520158735
4. 定义 5(P.116) 正交变换: 若 P 为正交阵, 则称把列向量 x 变为 y = Px 的变换称为正交 变换. 5. 性质: 正交变换保内积 (从而保长度), 即 [Px, Pz] = [x,z] 䇷: (用内积的矩阵表示法) [Px, Pz] = (Px) TPz = x TP TPz = x T z = [x,z] 6. 例: 判别下面矩阵是否为正交阵: 1 0 −1 0 1 0 1 0 1 7. 思考题: 求一单位向量，使它与 α1 = (1, 1, −1, 1), α2 = (1, −1, −1, 1), α3 = (2, 1, 1, 3) 正交. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 8 / 35
4.定义5P.116)正交变换：若P为正交阵，则称把列向量x变为y=Px的变换称为正交 变换 5.性质：正交变换保内积（从而保长度），即[Px,P=x,司 证用内积的矩表示法)P,阳=（公=xP=三=压，周 侧：判别下而矩阵地香为交库 11 巴考唐来一单向量，使出写 1=11-1.1.0=1.-1.一1,1.0=2.1.1.3 通 聘同济大举 Jue520158735
4. 定义 5(P.116) 正交变换: 若 P 为正交阵, 则称把列向量 x 变为 y = Px 的变换称为正交 变换. 5. 性质: 正交变换保内积 (从而保长度), 即 [Px, Pz] = [x,z] 䇷: (用内积的矩阵表示法) [Px, Pz] = (Px) TPz = x TP TPz = x T z = [x,z] 6. 例: 判别下面矩阵是否为正交阵: 1 0 −1 0 1 0 1 0 1 7. 思考题: 求一单位向量，使它与 α1 = (1, 1, −1, 1), α2 = (1, −1, −1, 1), α3 = (2, 1, 1, 3) 正交. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 8 / 35
4.定义5P.116)正交变换：若P为正交阵，则称把列向量x变为y=Px的变换称为正交 变换 5.性质：正交变换保内积（从而保长度），即[Px,P]=,习 证：（用内积的矩阵表示法）[Px,Pg=(Px)TPz=xpP:=x':=K,司 6.例：判别下面矩阵是否为正交阵： 90 10 7.思考题：求一单位向量，使它与 a1=(1,1,-1,1),a2=(1,-1,-1,1),a3=(2,1,1,3) 正交 聘同济大举 Jue520158/35
4. 定义 5(P.116) 正交变换: 若 P 为正交阵, 则称把列向量 x 变为 y = Px 的变换称为正交 变换. 5. 性质: 正交变换保内积 (从而保长度), 即 [Px, Pz] = [x,z] 䇷: (用内积的矩阵表示法) [Px, Pz] = (Px) TPz = x TP TPz = x T z = [x,z] 6. 例: 判别下面矩阵是否为正交阵: 1 0 −1 0 1 0 1 0 1 7. 思考题: 求一单位向量，使它与 α1 = (1, 1, −1, 1), α2 = (1, −1, −1, 1), α3 = (2, 1, 1, 3) 正交. ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 8 / 35
$2.1特征多项式、特征方程与特征根 1.定义：设A为n阶方阵，入是一个变元，则称（函数） a411-入 din a22-入 f()=A-λE= 为方阵A的特征多项式 anl 。 2是入的一个#次多项式.其中 1”的元数是一1 2-的是一-1(@1十+um 3君数项是山 3.特征方程方证时一=0一元#次打 特证根：特征方程的根 代记理的元次园在以合：个限安电 端同济大举 Je520159/35
§2.1 特征多项式、特征方程与特征根 1. 定义: 设 A 为 n 阶方阵, λ 是一个变元, 则称 (函数) fA (λ) = |A − λE| = a11 − λ · · · a1n a22 − λ . . . . . . . . . an1 · · · ann − λ 为方阵 A 的特征多项式. 2. fA (λ) 是 λ 的一个 n 次多项式. 其中: (1). λ n 的系数是 (−1)n (2). λ n−1 的系数是 (−1)n−1 (a11 + · · · + ann) (3). 常数项是 |A| 3. 特征方程: 方程 |A − λE| = 0 (一元 n 次方程) 4. 特征根: 特征方程的根. 5. 代数基本定理: (实或复的) 一元 n 次方程在复数域上恰有 n 个根 (按重数计) 例:(λ − 1)3 (λ − 2)2 (λ − 4)3 = 0 6. n 阶实方阵 A 恰有 n 个特征根 (注:(1). 在复数域上, (2) 按重数计). ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 9 / 35
S2.1特征多项式、特征方程与特征根 1.定义：设A为n阶方阵，入是一个变元，则称（函数） a11-入 din a22-入 f()=A-E|= 为方阵A的特征多项式 anl am-入 2.f(A)是入的一个n次多项式.其中： (1).入"的系数是(-1)" (2).入"-1的系数是(-1)-1(a11+…+am) (3).常数项是4川 3.特征方程：方程4-入E=0(一元n次方程) .技证根：特证方程的 三代收基本店理：尖议要的)一元行次方程在史成上合有#个根反垂收计 端同济大举 Jue520159/35
§2.1 特征多项式、特征方程与特征根 1. 定义: 设 A 为 n 阶方阵, λ 是一个变元, 则称 (函数) fA (λ) = |A − λE| = a11 − λ · · · a1n a22 − λ . . . . . . . . . an1 · · · ann − λ 为方阵 A 的特征多项式. 2. fA (λ) 是 λ 的一个 n 次多项式. 其中: (1). λ n 的系数是 (−1)n (2). λ n−1 的系数是 (−1)n−1 (a11 + · · · + ann) (3). 常数项是 |A| 3. 特征方程: 方程 |A − λE| = 0 (一元 n 次方程) 4. 特征根: 特征方程的根. 5. 代数基本定理: (实或复的) 一元 n 次方程在复数域上恰有 n 个根 (按重数计) 例:(λ − 1)3 (λ − 2)2 (λ − 4)3 = 0 6. n 阶实方阵 A 恰有 n 个特征根 (注:(1). 在复数域上, (2) 按重数计). ᕖ㦿 (同⎄ཝᆜ) 线性代ᮦ June 5, 2015 9 / 35