由每组的后一半可得h2y"(5.)y(xi+1) = y(x,)+ hy'(xi+12记Yi+1 = y; + hf (Xi+1, Yi+1)i=0,1,..,n-1称为求解一阶常微分方程初值问题的向后欧拉公式。也称为隐式欧拉公式。其中y'(xit1) = f(xi+1, Yi+1)y(xi+1) ~ Ji+1y; = y(x,)h?h?记(h)SV"ei+1=2(x22称为向后欧拉公式的误差项。上页下页返回
上页 下页 返回 由每组的后一半可得 ( ) ( ) ( ) 1 1 i i xi y x y x hy ( ) 2 2 i y h 记 ( , ) i1 i i1 i1 y y hf x y ( ) 2 ( ) 2 i 1 i y h e h ( ) 2 1 2 xi y h ( ) i xi 其中 y y 1 1 ( ) i i y x y 称为求解一阶常微分方程初值问题的向后欧拉公式。 i 0,1, ,n1 ( ) ( , ) 1 1 1 i i i y x f x y 称为向后欧拉公式的误差项。 记 也称为隐式欧拉公式
从欧拉公式可以看出，在计算第时只要用到前一个值这种类型的方法称为单步格式或单步法。欧拉公式的几何意义：yi+1 =y; +hf(xi,y,)1.= y; +hy'(x,)0.5-0.5-1.52356o14上页下页返圆
上页 下页 返回 从欧拉公式可以看出, i i 在计算y 时只要用到前一个值y 1 这种类型的方法称为单步格式或单步法。 欧拉公式的几何意义: ( ) i xi y hy ( , ) i 1 i i i y y hf x y 0 1 2 3 4 5 6 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 1 2 3 4 5 6 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 1 2 3 4 5 6 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
例1．用欧拉公式求解初值题Eulerl. m2x0≤x≤1y((0) =1取h= 0.12x解： 显然 f(x,)=y-xo=a=0, n=10, b=1, yo=1J由欧拉公式Yi+1 = y; +hf(x;,y,) i=0,1,2,...,n-12xiYi+1 = y; +h(y;yi2×02Xo得= 1 + 0.1(1yi = yo + h(yoyo2×0.12x1)= 1.1 + 0.1(1.1:1.1918上页J2 = yi + h(yi1.1yi下页返圆
上页 下页 返回 例1. 用欧拉公式求解初值问题 Euler1.m (0) 1 0 1 2 y x y x y y 解: y x f x y y 2 显然 ( , ) 0, x0 a 由欧拉公式 ( , ) i 1 i i i y y hf x y i 0,1,2, ,n1 ) 2 ( 1 i i i i i y x y y h y 取h 0.1 得 ) 2 ( 0 0 1 0 0 y x y y h y ) 1 2 0 1 0.1(1 ) 2 ( 1 1 2 1 1 y x y y h y ) 1.1 2 0.1 1.1 0.1(1.1 1.1 1.1918 n 10, b 1, y0 1
依此类推,有1.0000810001.100020001.1918Euler30001.2774040001.358250001.4351[x,y] =1.509060001.5803700080001.649890001.717800001.78480.20.40.7 0.80.900.10.30.50.61上页下页返回
上页 下页 返回 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 依此类推 , 有 [x, y] 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 前前Euler前前 前前前 0 1.0000 0.1000 1.1000 0.2000 1.1918 0.3000 1.2774 0.4000 1.3582 0.5000 1.4351 0.6000 1.5090 0.7000 1.5803 0.8000 1.6498 0.9000 1.7178 1.0000 1.7848