《数值计算》课程教学课件（讲稿）第8章 常微分方程的数值解法（1/2）

a≤x≤by" = f(x,y,y')y(a)= yo, y(b) = yn称为边值问题。另外，在实际应用中还经常需要求解常微分方程组：y' = fi(x,Ji, 2)yi(xo) = y1oy2 = f(x,J1, 2) yz(xo) = y20这里主要研究一阶常微分方程初值问题的数值解法。对高阶常微分方程初值问题、常微分方程组问题、边值问题，这里只作简单介绍。我们首先介绍一阶常微分方程初值问题的解的上页存在条件。下页返圆

上页 下页 返回           n y a y y b y y f x y y a x b ( ) , ( ) ( , , ) 0 称为边值问题。          2 2 1 2 2 0 20 1 1 1 2 1 0 10 ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) y f x y y y x y y f x y y y x y 另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组: 这里主要研究一阶常微分方程初值问题的数值解法。 我们首先介绍一阶常微分方程初值问题的解的 存在条件。 对高阶常微分方程初值问题、常微分方程组问题、 边值问题，这里只作简单介绍

考虑一阶常微分方程的初值问题：dy= f(x,y) xe[a,b]dxy(a) = yo只要f(x,y)在[a,b]×Rl上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使I f(x,y)-f(x,y2)/≤LIy -y2 I对任意定义在[a,b]上的yi(x)和y2(x)都成立,则上述初值问题存在唯一解。要计算出解函数y(x)在一系列节点a=xo<xi<...<x=b处的近似值y; ~ y(x,)(i=l,...,n)上页下页而y(i=1,2,,n)就是一阶初值问题的数值解。返圆

上页 下页 返回  考虑一阶常微分方程的初值问题 :        0 ( ) ( , ) [ , ] y a y f x y x a b dx dy 只要 f (x, y) 在[a, b]  R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条件， | ( , ) ( , )| | | 1 2 1 2 f x y  f x y  L y  y 要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<.< xn= b 处的近似值 y y(x ) (i 1, . ,n) i  i  对任意定义在 [a, b] 上的 y1 (x) 和 y2 (x) 都成立， 则上述初值问题存在唯一解。 而yi (i  1,2,  ,n)就是一阶初值问题的数值解。 即存在与 x, y 无关的常数L 使

S2 欧拉法一．欧拉法和向后欧拉法为了讨论方便，假设以下节点为等距节点a=x<xi<x,<..<x,=bb-ah=，Xk=a+khn对于一阶常微分方程初值问题a≤x≤by'= f(x,y)(a) = yo在下列子区间上分别应用两点数值微分公式hy(xo)={[y(x;)- (x0)]-y"()-2h-2-h(x)=()-(0)+上页y"()h下页返圆

上页 下页 返回 §2 欧拉法 一 . 欧拉法和向后欧拉法         0 ( ) ( , ) y a y y f x y a x b 对于一阶常微分方程初值问题 在下列子区间上分别应用两点数值微分公式 a  x0  x1  x2  xn  b 为了讨论方便,假设以下节点为等距节点 x a kh n b a h k     , ( ) 2 [ ( ) ( )] 1 ( ) 0 1 0 y  h y x y x h y x     ( ) 2 [ ( ) ( )] 1 ( ) 1 1 0 y  h y x y x h y x    

y(a)=-[v(xi)-(x0)[a,x,]-y"(5.)hy(x)==[v(x)-(x0) ++(5)T[,x1 (x)=(x)-(x)] -(5)hy(x)==[(x2)-(x)y"(s5)+[x,x1 (x)=→[v(x+)-(x)]-(5)()=b()-(x)+(5)上页下页返回

上页 下页 返回  ( ) ( ) 1 ( ) 1 x0 y x y h y a   ( ) 2  0 y h [ , ]   a x1  ( ) ( ) 1 ( ) 1 1 x0 y x y h y x   ( ) 2  0 y h    ( ) ( ) 1 ( ) 1 2 x1 y x y h y x   ( ) 2  1 y h   [ , ] x1 x2  ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 x1 y x y h y x   ( ) 2  1 y h    ( ) ( ) 1 ( ) i i 1 xi y x y h y x    ( ) 2 i y h [ , ]    xi xi1  ( ) ( ) 1 ( ) i 1 i 1 xi y x y h y x     ( ) 2 i y h   

由每组的前一半可得h2y"(30)y(x) = y(x) +hy'(a) +-2hy"()y(x2)=y(x)+hy(x)+12h-2i=0,1,...,n-1y"(5.)y(xi+1) = y(x,)+hy'(x,十记i=0,1,...,n-1Yi+ = y; +hf(x,, y.)称为求解一阶常微分方程初值问题的欧拉公式。y'(x )= f(x;,yi)y(Xi+l) ~ yi+1其中y; = y(x,)h?h?记y"(5.)ei+i(h)y"(x,)222上页称为欧拉公式的误差项。下页返回

上页 下页 返回 由每组的前一半可得 ( ) ( ) ( ) y x1  y x0  hy a ( ) 2 0 2 y  h   ( ) ( ) ( ) 2 1 x1 y x  y x  hy ( ) 2 1 2 y  h   ( ) ( ) ( ) i 1 i xi y x  y x  hy  ( ) 2 2 i y h     i  0,1,  ,n1 ( , ) i 1 i i i y  y  hf x y 记  ( ) i xi y  y i  0,1,  ,n1 其中 1 1 ( ) i  i y x y ( ) ( , ) i i i y x  f x y 称为求解一阶常微分方程初值问题的欧拉公式。 ( ) 2 ( ) 2 i 1 i y h e  h    ( ) 2 2 xi y h   称为欧拉公式的误差项。 记