下面是一些有用的对易关系 LLi iXil=imsijk k Li, pil=imik Pk kk Eik称为 Levi-Civita符号。取值(-1),8ik 为从123→j的对换数。如123→312的对换数2
下面是一些有用的对易关系 称为Levi-Civita符号。取值 ， 为从123 →ijk的对换数。如123 →312的对换数2 i j ijk k L , x ] i x ˆ [ = Oε i j ijk p k L , pˆ ] i ˆ ˆ [ = Oε i j ijk L k ˆ L ] i ˆ L , ˆ [ = Oε ijk ε ijk ( 1 ) δ − ijk δ
例 zu o)z+ihzly u 山S0L 9z ihz(y u az a az a -ih( ihy
例： x ˆ [L , z]u i (y z )z i z(y z ) u zy zy i z(y z )i (y z )z i z(y z )u zy zy zy i (y z )z u z y i yu ⎛ ⎞ ∂∂ ∂∂ =− − + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∂∂ ∂∂ ⎛ ⎞ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ⎡ ⎤ =− − − − + − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ ∂ ∂ =− − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∂ ∂ = − h h hh h h h
用上述关系可证: LⅹI+r×L=2iA L×p+p×L=2i 例 Lxy-L、x+xLy-yL
用上述关系可证： 例： x ˆ [L ,z] i = − hy L 2i r ˆ L r r ˆ × + × = O L 2i pˆ p ˆ L pˆ ˆ ˆ × + × = O Lx y − Lyx + xLy − yLx
4.14.243
4.1 4.2 4.3
y-yLx -(LyX-XLy) i-(-2) 2 对易关系是与坐标选择无关 例 Z =|-ix 2xy 2yX )=0 2r 2r
对易关系是与坐标选择无关 例： L , r ] ˆ [ z ), r ] x y y [ i ( x ∂ ∂ − ∂ ∂ = − O ) 0 2 r 2yx 2 r 2xy = − i O( − = L y yL ( L x xL ) = x − x − y − y = i Oz − ( − i Oz ) = 2 i Oz