教案讨论 Bose- Einstein凝结 内容: 凝结 2.理论 3.实验 要点 物理上,说明产生凝结的原因是: (1)波粒二象性引起的聚集效应; (2)低能状态的稀少 2.数学上,分析“相对粒子数”和化学势随温度的变化。 方法上,用图形帮助说明公式
1 教案讨论 Bose-Einstein 凝结 内容： 1． 凝结 2． 理论 3． 实验 要点： 1． 物理上，说明产生凝结的原因是： (1) 波粒二象性引起的聚集效应； (2) 低能状态的稀少。 2. 数学上，分析“相对粒子数”和化学势随温度的变化。 3. 方法上，用图形帮助说明公式
Bose- Einstein凝结(复旦大学物理系,孙鑫,2003.8) 1.凝结 1.1热力学极限 N 在边长为L的立方容器(体积V=L3)中,装有N个粒子,密度为P=V 无外场作用时,空间分析均匀,ρ是常数.对宏观体系,N极大,N~103 可取热力学极限:N→∞,V→∞,但保持密度ρ不变.见图1.1 粒子的动量为p,自由粒子的动能为E(p)=P 图1.1 1.2动量空间 粒子的状态由动量P(p2,P,p2)表述,在动量空间中,每个状态对应于 点.见图12 波粒二象性要求动量量子化 h P:-nL (1.1) 能量最低的状态是p=0,零动量是基态.动量间隔为 (1.2) 对三维体系,动量空间中,每个状态占据的体积是 由图12可知,在动量空间中,厚度为的球壳层中的状态数目是
2 Bose-Einstein 凝结（复旦大学物理系，孙鑫，2003. 8） 1. 凝结 1.1 热力学极限 在边长为 L 的立方容器（体积 3 V = L ）中，装有 N 个粒子，密度为 V N ρ = ． 无外场作用时，空间分析均匀，ρ 是常数．对宏观体系，N 极大， 23 N ~ 10 ， 可取热力学极限： N → ∞ ，V → ∞ ，但保持密度 ρ 不变．见图 1.1． 粒子的动量为 p ，自由粒子的动能为 m p 2 ( ) 2 ε p = ． py px pz p dp 1.2 动量空间 粒子的状态由动量 ( , , ) x y z p p p p 表述．在动量空间中，每个状态对应于一 点．见图 1.2． 波粒二象性要求动量量子化： L h p n i = i ，ni = 0, ±1, ± 2,K，i = 1, 2, 3． (1.1) 能量最低的状态是 p = 0，零动量是基态．动量间隔为 L h p∆ i = ， L → ∞． (1.2) 对三维体系，动量空间中，每个状态占据的体积是 V h L h v 3 3 = ∆ = ． (1.3) 由图 1.2 可知，在动量空间中，厚度为的球壳层中的状态数目是 图 1.1 图 1.2
φ中4m Ay(1/) (14) 所以,动量空间的态密度是 dn 4p-v 无外场时,粒子在坐标空间中的分布是均匀的.但是,在动量空间中,因为 E(p)=,动量大的粒子具有较高能量.在温度为T的平衡态下,能量愈高 2m 出现的几率愈小,因而,在动量空间中,粒子数按动量的分布a是不均匀的 动量愈大,粒子数a愈少 13经典分布 平衡态的统计理论已求得分布几率,对于经典统计( boltzmann分布) A 其中A是归一化常数,由总粒子数N确定 ∑ 如果将A用另一个参数山表示成A≡e/r 则(1.6)式可写成 pe-E(p)-Hykr (1 μ称为“化学势”,也由(1.7)式确定,此时可写成 -s(P)/I= (1.9) 将对p的求和变为积分,即∑→,(19式变为」==N,或 这说明μ是温度T和密度p的函数,与N和V无直接关系.在热力学极限过程中, μ不变
1．凝结 3 ( )3 2 2 4 4 h L p dp v p dp dn π π = ∆ = ， (1.4) 所以，动量空间的态密度是 3 2 4 ( ) h p V dp dn D p π = = ． (1.5) 无外场时，粒子在坐标空间中的分布是均匀的．但是，在动量空间中，因为 m p 2 ( ) 2 ε p = ，动量大的粒子具有较高能量．在温度为T 的平衡态下，能量愈高， 出现的几率愈小．因而，在动量空间中，粒子数按动量的分布 p a 是不均匀的， 动量愈大，粒子数 p a 愈少． 1.3 经典分布 平衡态的统计理论已求得分布几率，对于经典统计（Boltzmann 分布）， kT a Ae ( p) p −ε = ， (1.6) 其中 A是归一化常数，由总粒子数 N 确定： ∑a = N p p ． (1.7) 如果将 A用另一个参数 µ 表示成 kT A eµ ≡ ， 则(1.6)式可写成 [ ] kT a e− ε −µ = ( p) p ． (1.8) µ 称为“化学势”，也由(1.7)式确定，此时可写成 e e N kT kT ∑ = − p µ ε ( p) ． (1.9) 将对 p 的求和变为积分，即∑→ ∫ p p d h V 3 ，(1.9)式变为 N h Vd e e kT kT = ∫ − 3 µ ε ( p) p ，或 ∫ − = p p e d h e kT kT ( ) 3 ε µ ρ ． (1.10) 这说明 µ 是温度T 和密度 ρ 的函数，与 N 和V 无直接关系．在热力学极限过程中， µ 不变．
Bose- Einstein凝结(复旦大学物理系,孙鑫,2003.8) 由此可知,虽然N→∞,但每个状态上的粒子数an并不变这是因为,在 热力学极限下,L→∞,Δ=h/L减少,状态数目在增加,这导致N→∞ Ao(T=ao(T). ao(T2) ao(T1) 图14 经典分布(18)式如图1.3所示,具有下述特点 (1)在任何温度T(T>0K)下,任何状态P上的粒子数目an都是有限的,具有 零动量的粒子数a0=e"也是有限的 2)当温度固定时,取热力学极限,即在保持密度ρ不变的条件下(此时μ不会 改变),让N→∞,由于μ不变,a则不变.相对于总粒子数N,零动量上 粒子数的比例为A=a/N,可称为“相对粒子数”.因此在热力学极限下, 相对粒子数 Ao (3)当温度降低时,比较图1.3中的两条曲线(T2<T),粒子的分布向小动量区 域集中,a愈来愈大,但永远是有限的数目.因而无论温度T(T>0K)如 何降低,零动量上的相对粒子数A总是零.此特征如图14所示 结论: 对于经典统计,当温度变化时,零动量上相对粒子数A4(T)总是零,没有变 化,因而无相变 只有当T→0时,经典粒子全部停止运动,此时A(O)=1.相变只在绝对零 度上发生,无实际意义
4 Bose-Einstein 凝结（复旦大学物理系，孙鑫，2003. 8） 由此可知，虽然 N → ∞ ，但每个状态上的粒子数 p a 并不变．这是因为，在 热力学极限下， L → ∞，∆p = h L减少，状态数目在增加，这导致 N → ∞ ． ap p T1 T2<T1 a0(T1) a0(T2) 1 A0(T)=a0(T)/N T 经典分布(1.8)式如图 1.3 所示，具有下述特点： (1) 在任何温度T （T > 0 K）下，任何状态 p 上的粒子数目 p a 都是有限的，具有 零动量的粒子数 kT a eµ 0 = 也是有限的． (2) 当温度固定时，取热力学极限，即在保持密度 ρ 不变的条件下（此时 µ 不会 改变），让 N → ∞ ．由于 µ 不变，a0 则不变．相对于总粒子数 N ，零动量上 粒子数的比例为 A0 ≡ a0 N ，可称为“相对粒子数”．因此在热力学极限下， 相对粒子数 0 0 0 = → N a A ． (1.11) (3) 当温度降低时，比较图 1.3 中的两条曲线（T2 < T1 ），粒子的分布向小动量区 域集中，a0 愈来愈大，但永远是有限的数目．因而无论温度T （T > 0 K）如 何降低，零动量上的相对粒子数 A0总是零．此特征如图 1.4 所示． 结论： 对于经典统计，当温度变化时，零动量上相对粒子数 ( ) A0 T 总是零，没有变 化，因而无相变． 只有当T → 0 时，经典粒子全部停止运动，此时 A0 (0) = 1．相变只在绝对零 度上发生，无实际意义． 图 1.3 图 1.4
14化学势μ随温度的变化(经典统计) μ由总粒子数为N的条件(19)式确定,此式可写成 根据此式,不难证明,当T降低时,μ将增加:观察(1.12)式左边的指数 a(p)-山kT,当T降低时,分母变小,为了使求和保持为N,分子(p)-也 得相应地变小,由于s(p)不随T而变,只能是变大 设μ=0对应的温度为T,它由下式确定: E(P)kTo=N (1.13) 因此,山(T)随T的变化如图1.5所示 Ao(T) 图1.6 15B-E分布 量子体系与经典体系的差别在于全同粒子是否可以分辨.当交换两个相同粒 子时,经典统计认为是不同的状态,量子统计认为是同一状态.由于此种差别, 对于Bose粒子,其统计分布变为 (1.14) 与经典分布(1.14)式的差别只是在分母上多了一项-1,若略去此项,(1.14)式就 回到经典统计 Bose和 Einstein在1924年从理论上发现,当温度降低时,会发生一种相变, 称为B-E凝结 16B-E凝结 对于经典体系,前面已看到,当T降低时,具有零动量的相对粒子数A4总
1．凝结 5 1.4 化学势 µ 随温度的变化（经典统计） µ 由总粒子数为 N 的条件(1.9)式确定．此式可写成 [ ] e N kT ∑ = − − p ε ( p) µ ． (1.12) 根据此式，不难证明，当 T 降低时， µ 将增加：观察(1.12)式左边的指数 [ ] ε ( p) − µ kT ，当T降低时，分母变小．为了使求和保持为 N ，分子ε ( p) − µ 也 得相应地变小，由于ε ( p)不随T而变，只能是 µ 变大． 设 µ = 0 对应的温度为T0 ，它由下式确定： e N kT ∑ = − p p 0 ε ( ) ． (1.13) 因此， µ(T) 随T的变化如图 1.5 所示． µ(T) T T0 A0(T) T Tc 1 1.5 B-E 分布 量子体系与经典体系的差别在于全同粒子是否可以分辨．当交换两个相同粒 子时，经典统计认为是不同的状态，量子统计认为是同一状态．由于此种差别， 对于 Bose 粒子，其统计分布变为 [ ] 1 1 ( ) − = − kT e ap ε p µ ， (1.14) 与经典分布(1.14)式的差别只是在分母上多了一项−1，若略去此项，(1.14)式就 回到经典统计． Bose 和 Einstein 在 1924 年从理论上发现，当温度降低时，会发生一种相变， 称为 B-E 凝结． 1.6 B-E 凝结 对于经典体系，前面已看到，当T 降低时，具有零动量的相对粒子数 A0 总 图 1.5 图 1.6