第三章一维定态问题 现在从最简单的问题来应用所得的原理和 方程:一维,不显含时间的位势。如 v(r)=V(x)+Ⅴ(y)+Ⅴ(z V(r)=Ⅴ(r) 则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题 是解决三维问题的基础
第三章 一维定态问题 现在从最简单的问题来应用所得的原理和 方程：一维，不显含时间的位势。 如 则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题 是解决三维问题的基础。 V(r) = V(x) V(y) V(z) + + V(r) = V(r )
§3.1一般性质 设粒子具有质量m,沿ⅹ轴运动,位势为 V(x),于是有 h2 +V(xu(x)=Eu(x) 2m dx2 (1)定理1:一维运动的分立能级(束缚态), 一般是不简并的
§3.1一般性质 设粒子具有质量 m ，沿 x 轴运动，位势为 ，于是有 （1）定理 1：一维运动的分立能级(束缚态)， 一般是不简并的。 V(x) 2 2 2 d ( V(x))u(x) Eu(x) 2m dx −+ = h
简并度( degeneracy):一个力学量的某个 测量值,可在n个独立的(线性无关的)波 函数中测得,则称这一测量值是具有n重简 并度 如某能量本征值有n个独立的定态相对应, 则称这能量本征值是n重简并的 证:假设u1,u2是具有同样能量的波函数 2 +V(x)u1(x)=Eu1(x)(1) 2m dx
简并度（degeneracy）：一个力学量的某个 测量值，可在 n 个独立的（线性无关的）波 函数中测得，则称这一 测量值是具有 n 重简 并度。 如某能量本征值有 n 个独立的定态相对应， 则称这能量本征值是 n 重简并的。 证：假设 , 是具有同样能量的波函数 (1) u1 u2 2 2 1 1 2 d ( V(x))u (x) Eu (x) 2m dx −+ = h
2 +V(x)u2(x)=Eu2(x)(2) 2m dx u×(2)一u2×(1) 从而得 2 u 2(x)=0 dx dx 于是 u2u1(x)-u1u2(x)=c(c是与x无关的常数)
(2) 从而得 于是 (c是与 x 无关的常数) 2 2 21 12 2 2 d d u u (x) u u (x) 0 dx dx − = u u (x) u u (x) c 21 12 ′ ′ − = u (2) u (1) 1 × − 2 × 2 2 2 2 2 d ( V(x))u (x) Eu (x) 2m dx −+ = h
对于束缚态x→±∞,u;>0(或在有限区域有 某值使u2u(x)-u1u2(x)=0),所以 c=0 u2u1(x)-u1u2(x)=0 若u2(x)u1(x)不是处处为零,则有 (nu2)=(nu1) u1(x)=Au2(x)
对于束缚态 （或在有限区域有 某值使 ），所以 c＝0 若 不是处处为零，则有 21 12 u u (x) u u (x) 0 ′ − ′ = 2 1 u (x)u (x) (ln u ) (ln u ) u u u u 2 1 1 1 2 2 ⇒ ′ = ′ ′ = ′ 1 2 u (x) Au (x) = i x ,u 0 → ±∞ → 21 12 u u (x) u u (x) 0 ′ − ′ =