19在温度T=0°C和压强p=1pn下,空气密度p=1.29Kgm3.空气定压比 热容cn=0998JKg·K-,y=141.今有体积V=27m3的空气,试计算: (1)维持体积不变,将空气由0℃加热到T=20°C所需热量 (2)维持压强不变,将空气由0°℃加热到T=20℃C所需热量 (3)若容器有裂缝,将空气由0℃缓慢加热到T=20C所需热量 (1)定容过程Q=cmdT=P8(T-7)=4920×10°J (2)定压过程Q=cmdT=cP(T-)=6937×10°J (3)加热部分定压膨胀,由理想气体物态方程m=n=20,m=pF, 0=S c mdt= -, Pv o dT=cp PVT In 7=6.678x105J 1.10抽成真空的小匣带有活门,打开活门让气体冲入.当压强达到外界压强P 时,将活门关上.试证明:小匣内的空气在与外界交换热量之前,其内能U 与原来在大气中的内能之差为U-U=P0,其中V是它原来在大气中的 体积.若气体是理想气体,求它的温度T和体积V 解 将冲入小匣内的空气作为系统.过程进行很快,可视为绝热.起初冲 入空气与小匣占据的总体积为V+V,过程结束后体积压缩为T,所以外 界做功W=PV.根据第一定律,U-U。=W=PbV 对理想气体,△U=C(T-1))(T-7),物态方程为p=nRT, PV=nRT.由此解得T=y70,V=y 1.12满足pV"=C的过程称为多方过程,其中n为多方指数.试证:在某一过 程中理想气体热容量Cn若是常数,该过程一定是多方过程,其中多方指数 C-C 假设气体的定压热容量和定容热容量是常数 解 由物态方程 pV=VRT (1.1) 两边微分得
1 1.9 在温度 0 T = 0 CD 和压强 n p =1p 下，空气密度 3 0 ρ 1.29 Kg m− = ⋅ ．空气定压比 热容 1 1 cp 0.996 J Kg K − − = ⋅⋅ ，γ =1.41．今有体积 3 V = 27 m 的空气，试计算： (1) 维持体积不变，将空气由0 CD 加热到T = 20 CD 所需热量． (2) 维持压强不变，将空气由0 CD 加热到T = 20 CD 所需热量． (3) 若容器有裂缝，将空气由0 CD 缓慢加热到T = 20 CD 所需热量． 解： (1) 定容过程 0 5 0 00 d ( ) 4.920 10 J T p V T c Q cm T VT T ρ γ = = −= × ∫ ． (2) 定压过程 0 5 0 00 d ( ) 6.937 10 J T p p T Q cm T c VT T = = −= × ρ ∫ ． (3) 加热部分定压膨胀，由理想气体物态方程 0 0 0 m n T mnT = = ， 0 0 T m V T = ρ ， 0 0 0 5 0 00 0 d d ln 6.678 10 J T T pp p T T T T Q c m T c V T c VT T T = = = =× ρ ρ ⌠ ⌡ ∫ ． 1.10 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入．当压强达到外界压强 0 p 时，将活门关上．试证明：小匣内的空气在与外界交换热量之前，其内能U 与原来在大气中的内能之差为U U pV − =0 00 ，其中V0 是它原来在大气中的 体积．若气体是理想气体，求它的温度T 和体积V ． 解： 将冲入小匣内的空气作为系统．过程进行很快，可视为绝热．起初冲 入空气与小匣占据的总体积为V V+ 0 ，过程结束后体积压缩为V ，所以外 界做功W pV = 0 0．根据第一定律，U U W pV − == 0 00 ． 对理想气体，∆ 0 0 () () 1 V nR U CT T T T γ = −= − − ，物态方程为 00 0 p V nRT = ， 0 p V nRT = ．由此解得T T0 = γ ，V V0 = γ ． 1.12 满足 n pV C= 的过程称为多方过程，其中n 为多方指数．试证：在某一过 程中理想气体热容量Cn 若是常数，该过程一定是多方过程，其中多方指数 n p n V C C n C C − = − ．假设气体的定压热容量和定容热容量是常数． 解： 由物态方程 pV RT =ν (1.1) 两边微分得
pdv+vdp=vRdT (12) 两式相除得 dv dp dT P 理想气体dU=Cdr,多方过程d=CdT·根据第一定律 CndT=Cd7+pd,利用(11)和(1.3),得到 dv (Cn-CP/+(C, -Cr) 这里还利用了理想气体Cn-C=vR C-C 令n ,(14)简化为 dv dp P 积分即得多方过程方程.命题得证 1.21温度T=0°C,质量m=1Kg的水与温度T=100℃C的恒温热源接触后,水 温达到100°℃.试分别求水和热源的熵变和整个系统的总熵变.欲使整个 系统的熵保持不变,应如何使水温从0°C升至100℃C?已知水的比热容为 Cn=4.18J·Kg 解 分别用可逆等压过程和可逆等温过程联系水和热源的初终态.热源放 出的热量等于水吸收的热量 T -dT=c. mln-0=1304JK- △S=m(T)=c,01 1120J.K T △S8=△S水+△S热=184JK 欲使△Sa=0,过程必须可逆应使水由低到高依次与0℃C至100°C范 围内温差为无穷小的一系列热源接触,使水吸热过程中始终与接触热源处 于无限接近平衡态的状态 123均匀杆两端温度分别为T和72试计算达到均匀温度+T2后的熵变
2 pdd d V Vp RT + =ν ， (1.2) 两式相除得 d dd VpT V pT + = ． (1.3) 理想气体 d d U CT = V ，多方过程 d d QCT = n ．根据 第一定律 ， d dd C T C T pV n V = + ，利用(1.1)和(1.3)，得到 ( ) ( ) d d 0 n p nV V p CC CC V p − +− = ， (1.4) 这里还利用了理想气体CC R p V − =ν ． 令 n p n V C C n C C − = − ，(1.4)简化为 d d 0 V p n V p + = ， (1.5) 积分即得多方过程方程．命题得证． 1.21 温度 1 T = 0 CD ，质量m =1 Kg 的水与温度 0 T =100 CD 的恒温热源接触后，水 温达到100 CD ．试分别求水和热源的熵变和整个系统的总熵变．欲使整个 系统的熵保持不变，应如何使水温从0 CD 升至100 CD ？已知水的比热容为 1 1 cp 4.18 J Kg K − − = ⋅⋅ ． 解： 分别用可逆等压过程和可逆等温过程联系水和热源的初终态．热源放 出的热量等于水吸收的热量． 0 1 0 1 1 ∆ d ln 1304 J K T p p T c m T S T cm T T − = = =⋅ ⌠ ⌡ 水 ． ( ) 0 1 1 1 0 0 ∆ 1 1120 J K p p cmT T T S cm T T − − =− =− − =− ⋅ 热源 ． 1 ∆∆∆ SSS 184 J K− 总 =+ = ⋅ 水 热源 ． 欲使∆S总 = 0 ，过程必须可逆．应使水由低到高依次与0 CD 至100 CD 范 围内温差为无穷小的一系列热源接触，使水吸热过程中始终与接触热源处 于无限接近平衡态的状态． 1.23 均匀杆两端温度分别为T1和T2 ．试计算达到均匀温度 1 2 2 T T+ 后的熵变． 解：
均匀杆的初始温度分布为T(x)= 1-x)T+x2 dx段的定压热容量 dC=-d T dT △S f+2-21n2-hn+1 (-x)+x2T T-T 126有两个相同的物体,热容量为常量,初始温度同为T,今令一致冷机在此 两物体间工作,使其中一个物体温度降低到T2为止.假设物体维持在定压 下,并且不发生相变.试根据熵增加原理证明,此过程所需的最小功为 W=C 72-2T 两物体与致冷机组成绝热系统.由第一定律知,Q=Q+Q2=W,即 致冷机经循环后熵不变,根据熵增加原理, △S=△S1+△S2= dT+ > 由此解得T≥ 72 将上式代入(16),得W≥C|+72-2命题得证
3 均匀杆的初始温度分布为 ( ) 1 2 ( ) l x T xT T x l − + = ． dx 段的定压热容量 d dp p C C x l = ， ( ) 1 2 1 2 2 12 2 21 1 0 2 1 d ln ln ∆ d ln 1 2 T T l p p l x T xT l C T TT T TTT Sx C l T TT + − + + − = =− + − ⌠ ⌡ ∫ ． 1.26 有两个相同的物体，热容量为常量，初始温度同为Ti ．今令一致冷机在此 两物体间工作，使其中一个物体温度降低到T2 为止．假设物体维持在定压 下，并且不发生相变．试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为 2 min 2 2 2 i p i T W C TT T = +− ． 解： 两物体与致冷机组成绝热系统．由第一定律知，QQ Q W = 1 2 + = ，即 W CT T CT T = −+ − p ( 1 2 ip i ) ( ) ． (1.6) 致冷机经循环后熵不变，根据熵增加原理， 1 2 1 2 1 2 2 ∆∆ ∆ d d ln 0 i i T T p p p T T i C C T T S S S T TC TT T =+ = + = ≥ ⌠ ⌠ ⌡ ⌡ ． (1.7) 由此解得 2 1 2 Ti T T ≥ ． 将上式代入(1.6)，得 2 2 2 2 i p i T WC T T T ≥ +− ．命题得证．
24求证:(1) <0;(2) >0 解 (1)由dH=7dS+l得dS=dH-d,故 (2)由d=7dS-poV得ds=d+d,故 aS-p>0 27试证明在相同的压强降落下,气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在 节流过程中的温度降落 由dC d得 T T av ap丿sC(aT 由dH=CdT-l m)-(聊)(m) T ( =>0,因为平衡稳定性要求C>0.命题得证 28实验发现,一气体的压强p与比体积v(单位质量物质的体积)的乘积及 比内能u(单位质量物质的内能)都只是温度的函数,即p=f(T), l=u(T).试根据热力学理论,讨论该气体物态方程的形式 解 对单位质量气体,dm=7+(92)-pr,故有 P (2.1) 由p=①可得 df 由l=l(T)可得 0 根据以d-=0.解之得f=CT,所以p=Cr
1 2.4 求证：(1) 0 H S p ∂ < ∂ ；(2) 0 U S V ∂ > ∂ ． 解： (1) 由d dd H = + TS Vp 得 1 dd d V SHp T T = − ，故 0 H S V p T ∂ = − < ∂ ． (2) 由d dd U TS pV = − 得 1 dd d p SUV T T = + ，故 0 U S p V T ∂ = > ∂ ． 2.7 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在 节流过程中的温度降落． 解： 由dd d p p C V ST p T T ∂ = − ∂ 得 S p p T TV p C T ∂ ∂ = ∂ ∂ ． 由dd d p p V H CT T V p T ∂ =− − ∂ 得 H p p p T TV V p CT C ∂ ∂ = − ∂ ∂ ． 0 S H p T TV p pC ∂ ∂ − = > ∂ ∂ ，因为平衡稳定性要求 0 Cp > ．命题得证． 2.8 实验发现，一气体的压强 p 与比体积v （单位质量物质的体积）的乘积及 比内能 u （单位质量物质的内能）都只是温度的函数，即 pv fT = ( ) ， u uT = ( ) ．试根据热力学理论，讨论该气体物态方程的形式． 解： 对单位质量气体，dd d V v p ucT T p v T ∂ =+ − ∂ ，故有 T v u p T p v T ∂ ∂ = − ∂ ∂ ． (2.1) 由 f ( ) T p v = 可得 1 d v d p f T pT f T vT ∂ −= − ∂ ． (2.2) 由u uT = ( ) 可得 0 T u v ∂ = ∂ ． (2.3) 根据以上三式， d 0 d f T f T − = ．解之得 f = CT ，所以 pv CT = ．
3.5求证 U 由dU=TdS-pd+dn和dS dT dU=T dT+t dv +T udn.(3.1) 由dF=-SdT-pd+dkF3F anaT otar a (3.2) T 根据式(31)与(32)可得 aU 命题得证 37试证明在相变中物质摩尔内能的变化为△Um=41-PdT\,如果一相是气 相,可看作理想气体,另一相是凝聚相,试将公式化简. 解 由两相平衡条件知,两相之间△T=0,p=0,△4=0,因而 L=TASn=△(4+7Sn)=△ 根据克拉珀龙方程,如 dTT△p L dT △ T dp 联立式(33)和(34),即得 P dt t dp 若一相可看作理想气体,则△Vn≈V,pVn=RT,克拉珀龙方程近似 为出=界 代入(3.5)式,得△Um=L-RT.此结论亦可由(33)直接得 到.其物理意义为:一摩尔物质由凝聚相转变至气相时,吸收的相变潜热 部分用于对外做体积膨胀功,功的大小为p△n≈pVn=RT,其余部分 用于增加内能
1 3.5 求证： TV V n , , U T n T µ µ ∂ ∂ − =− ∂ ∂ ． 解： 由 d dd d U TS pV n = − + µ 和 , ,, dddd V n Tn TV SSS STVn TV n ∂∂∂ =++ ∂∂ ∂ 得 ,, , dd d d V n Tn TV SS S UT T T pV T n TV n µ ∂∂ ∂ = + −+ + ∂∂ ∂ ． (3.1) 由d dd d F =− − + ST pV n µ 及 2 2 F F nT T n ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂∂ 得 TV V n , , S n T ∂ ∂µ = − ∂ ∂ ． (3.2) 根据式(3.1)与(3.2)可得 TV V n , , U T n T µ µ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ．命题得证． 3.7 试证明在相变中物质摩尔内能的变化为 m d ∆ 1 d p T U L T p = − ．如果一相是气 相，可看作理想气体，另一相是凝聚相，试将公式化简． 解： 由两相平衡条件知，两相之间∆T = 0，∆p = 0，∆µ = 0 ，因而 ∆ ∆ m m mm m L = =+ = = + T S TS H U p V ( ) µ ∆∆ ∆ ． (3.3) 根据克拉珀龙方程， m d d ∆ p L T TV = ，即 m d ∆ d L T V T p = ． (3.4) 联立式(3.3)和(3.4)，即得 m d ∆ 1 d p T U L T p = − ． (3.5) 若一相可看作理想气体，则∆V V m m ≈ ， m pV RT = ，克拉珀龙方程近似 为 2 d d p Lp T RT = ．代入(3.5)式，得 ∆U L RT m = − ．此结论亦可由(3.3)直接得 到．其物理意义为：一摩尔物质由凝聚相转变至气相时，吸收的相变潜热 一部分用于对外做体积膨胀功，功的大小为 ∆ m m p V pV RT ≈ = ，其余部分 用于增加内能．