不能彼此对换 /h 若A B=e 2 AB≠BA xp y=-ihz poXY X X dx 所以 xp y-p xY=iht
不能彼此对换。 若 , ， 则 所以 y ˆ i L/ A e ˆ 2 π − = h z ˆ i L/ B e ˆ 2 π − = h AB BA ˆ ˆ ˆ ˆ ≠ x xp i x ˆ ψ =− ψ h ′ x d pˆ i x d x i ix x ψ =− ψ= h − ψ− ψ h h ′ x x xp p x i ˆ ˆ ψ − ψ= ψh
算符 xp - x=ih 引入对易子:A和B的对易子A,B = AB-BA 对易子有如下性质 IA, BE-B,A LA, BC=BA, C+A, BC [A×B,C]=A×[B,C]+[A,C]×B
算符 引入对易子： 和 的对易子 对易子有如下性质 ⎡A,B ˆ ˆ ⎤ ⎣ ⎦ Aˆ [ Bˆ ] Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ A, ˆ = − ˆ ˆ ˆ ˆ [A,B] [B, A] = − ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ [A, BC] B[A,C] [A, B]C = + ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ [A B,C] A [B,C] [A,C] B × =× + × B ˆ x x xp p x i ˆ ˆ − = h
并有区,p=2B风B论1 S=0 证:n=1,成立 设:n-1成立,即 [AB]=∑B[A,BB-=3 S=0 A,B]=B[A,B-]+[A,B]B-1 ∑BA,B|B"-+|A,BjB
并有 证： 成立 设： n-1 成立，即 = ∑ − = − − n 1 S 0 n s n s 1 Bˆ B] ˆ A, ˆ B [ ˆ B ] ˆ A, ˆ [ n 1, = ∑ − ′ = − ′ − − ′ − = n 2 S 0 n 1 s n 1 s 1 Bˆ B] ˆ A, ˆ B [ ˆ B ] ˆ A, ˆ [ n n 1 n 1 Bˆ B] ˆ A, ˆ B ] [ ˆ A, ˆ B[ˆ B ] ˆ A, ˆ [ − − = + n 2 s 1 n1s 1 n 1 S 0 B [A, B]B ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [A, B]B − ′ ′ + −− − − ′ = = + ∑
∑B|A,BBn++A,BB n ∑BS[A,BjBn-s 例:求 [x,p] ∑px,px是 0 n A Px =imi n S=0
例： 求 n 1 n 1 S 1 s n s 1 Bˆ B] ˆ A, ˆ B [ ˆ B] ˆ A, ˆ B [ ˆ − − = − − = ∑ + ∑ − = − − = n 1 S 0 s n s 1 Bˆ B] ˆ A, ˆ B [ ˆ [x, pˆ ] nx = ∑ − = − − n 1 S 0 n s 1 x x s pˆ x[x, pˆ ]pˆ ∑ − = − = n 1 S 0 n 1 px iO ˆ n 1 px i nˆ − = O
在算符的运算时,要特别小心。 例:如AB和A剑对易,可证明 A+B+A, B 所以 X+px+-1M e .e -e
在算符的运算时，要特别小心 。 例：如 和 对易，可证明 所以 Bˆ A , ˆ B ] ˆ A , ˆ [ 2 1 Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ e e e + + ⋅ = i O 2 1 x pˆ x pˆ x x e e e + + ⋅ = [ B ] ˆ A, ˆ