注1定理18.1的条件①~(iv)仅是充分条件： 例如： ①F(x,y)=y3-x3=0,F,(0,0)=0,在点(0,0)虽 不满足条件(v),但仍能确定惟一的隐函数y=x. ②F(xy)=(x2+y2)2-x2+y2=0(双纽线)，在 点(0,0)同样不满足 条件(iv);如图18一3 所示，在该点无论多 么小的邻域内，确实 图18一3 前页 后页 返回
前页 后页 返回 注1 定理 18.1 的条件 (i) ～ (iv) 仅是充分条件. 例如： ① ( , ) 0, (0,0) 0, 在点 虽 3 3 F x y y x Fy (0,0) 不满足条件 (iv)，但仍能确定惟一的隐函数 y x. ( , ) ( ) 0 2 2 2 2 2 ② F x y x y x y (双纽线), 在 点 (0,0 ) 同样不满足 条件 (iv); 如图18－3 所示, 在该点无论多 x y O 1 1 么小的邻域内, 确实 图 18－3
不能确定惟一的隐函数 注2条件(、(iv)不仅是定理18.1的需要，更 能保证隐函数有良好的性质，如后面定理18.2. 注3须强调的，定理18.1是一个局部性的. 注4在方程F(x,)=0中，x与y的地位是平等 的.当条件(i、(iv)改为F(x,y)连续，且 F(x,,y%)≠0时，将存在局部的连续隐函数 x=g(y). 前顶 返恒
前页 后页 返回 能保证隐函数有良好的性质,如后面定理 18.2. 注3 须强调的, 定理 18.1 是一个局部性的. 注 2 条件 (iii) 、 (iv) 不仅是定理 18.1的需要,更 不能确定惟一的隐函数. 注4 在方程 ) 0 中, F(x, y x 与 y 的地位是平等 的. 当条件 (iii) 、 (iv) 改为 连续,且 Fx (x0 , y0 ) 0 x g( y). 时，将存在局部的连续隐函数 F (x , y) x
定理18.2（隐函数可微性定理）设函数F(x,y)满 足定理18.1中的条件（①~(v),在D内还存在连 续的F(x,y).则由方程F(x,y)=0所确定的隐 函数y=f(x)在I内有连续的导函数，且 w=-F5(x,)e1x1. (2) F,(x,y) (注：其中 I=(xo-a,xo+a)J(o-B,o+B) 示于定理18.1的证明(d)). 前页 后页 返回
前页 后页 返回 定理 18.2 ( 隐函数可微性定理 ) 设函数 F(x, y) 满 足定理 18.1 中的条件 (i) ～ (iv), 在 D 内还存在连 F (x, y) x 续的 . 则由方程 F( x, y) 0 所确定的隐 函数 y f (x) 在 I 内有连续的导函数，且 ( , ) ( ) ( , ) . (2) ( , ) x y F x y f x , x y I J F x y ( 注: 其中 0 0 I (x0 , x0 ) 与 J y y ( , ) 示于定理18.1 的证明 (d) )
证设x,x+△x∈I,则 y=f(x),y+△y=f(x+△x)∈J. 由条件易知F可微，并有 Fx,y)=0,F(x+△x,y+△y)=0. 使用微分中值定理，30(0<0<1)，使得 0=F(x+Ax,y+Ay)-F(x,y) =F(x+B△x,y+BAy)Ax +F,(x+B△x,y+B△y)△y, 前页
前页 后页 返回 y f x , y y f x x J . ( ) ( ) F(x, y) 0, F(x x, y y) 0. 使用微分中值定理, (0 1), 使得 0 ( , ) ( , ) F x x y y F x y 证 设 x, x x I, 则 由条件易知 F 可微，并有 ( , ) F x x y y y, y ( , ) F x x y y x x
△y=_F(x+8Ax,y+0△y) △ :F,(x+0Ax,y+eAy) 因f,F,F,都是连续函数，故△x→0时△y→0， 并有 f(x)-lim Ay=-lim F(x+B△x,y+B△y) △x→0△x △x0F,(x+0△x,y+0△y) F(x,y) (x,y)∈I×J. F,(x,y) 显然f'(x)也是连续函数. 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 . ( , ) ( , ) F x x y y F x x y y x y y x 显然 f (x) 也是连续函数． x 0 y 0, Fx Fy 因 f , , 都是连续函数, 故 时 并有 0 0 ( , ) ( ) lim lim ( , ) x x x y y F x x y y f x x F x x y y ( , ), ( , ) . ( , ) x y F x y x y I J F x y