二、隐函数存在性条件分析 要讨论的问题是：当函数F(x,y)满足怎样一些 条件时，由方程(1)能确定隐函数y=f(x),并使 该隐函数具有连续、可微等性质？ (a)P(xo,o),满足F(,y)=0,yo=f(x): (b)为使y=f(x)在x,连续，故要求F(x,y)在点 P,连续是合理的. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 二、隐函数存在性条件分析 条件时，由方程 (1) 能确定隐函数 y f (x ) , 并使 要讨论的问题是：当函数 F(x, y ) 满足怎样一些 该隐函数具有连续、可微等性质? ( , ) 0 0 0 P x y ( , ) 0, ( ). 0 0 0 x0 ，满足 F x y y f P0 连续是合理的． y f (x) 0 (b) 为使 在 x 连续，故要求 F(x, y) 在点 (a)
(c)为使y=f(x)在x可导，即曲线y=f(x)在 点P,存在切线，而此切线是曲面z=F(x,y)在点 P,的切平面与z=0的交线，故应要求F(x,y)在 点P可微，且(F(xy0),F,(xo,0)≠(0,0)： ()在以上条件下，通过复合求导数，由（①）得到 &F,1sF,W+5,wfK)=0. f)=-E(52 F(Xo2Yo) 由此可见，F,(x,y)≠0是一个重要条件. 前页
前页 后页 返回 由此可见， F y (x0 , y0 ) 0 是一个重要条件． 0 0 0 0 0 0 d ( , ( )) ( , ) ( , ) ( ) 0, d F x f x F x y F x y f x x x x y x 点 存在切线，而此切线是曲面 z F(x, y) 在点 P0 的切平面与 的交线，故应要求 在 P0 z 0 F(x, y) y f (x) 0 (c) 为使 在 x 可导，即曲线 y f (x) 在 P0 ( ( , ), ( , )) (0, 0). 点 可微，且 Fx x0 y0 Fy x0 y0 (d) 在以上条件下，通过复合求导数, 由 (1) 得到 0 0 0 0 0 ( , ) ( ) ( , ) x y F x y f x . F x y
三、隐函数定理 定理18.1（隐函数存在惟一性定理)设方程(1)中 的函数F(x,y)满足以下四个条件： ()在以P(x,o)为内点的某区域DcR上连续； (i)F(x,yo)=0(初始条件)： ()在D内存在连续的偏导数F,(x,y): (iv)F,(xo,yo)≠0. 则有如下结论成立： 前顶 后页 返回
前页 后页 返回 三、隐函数定理 定理18.1 ( 隐函数存在惟一性定理 ) 设方程 (1) 中 的函数 F (x, y) 满足以下四个条件： ( , ) 0 0 0 P x y 2 (i) 在以 为内点的某区域 D R 上连续； (ii) F(x0 , y0 ) 0 ( 初始条件 )； D F (x, y) y (iii) 在 内存在连续的偏导数 ； 0 0 ( , ) 0. (iv) F x y y 则有如下结论成立：
1°存在某邻域U(P)cD,在U(P)内由方程(1) 惟一地确定了一个隐函数 y=f(x),xE(xo-a,xo+a), 它满足： f(xo)=o,且当x∈(x-a,xo+a)时，使得 (x,f(x)∈U(P),F(x,f(x)≡0； 2°f(x)在(-a,x,+a)上连续. 证首先证明隐函数的存在与惟一性. 证明分为以下四步 前
前页 后页 返回 0 0 y f x x x x ( ), ( , ), ( , ( )) ( ), ( , ( )) 0; x f x U P0 F x f x 2 f (x) 在 上连续． ( , ) x0 x0 惟一地确定了一个隐函数 它满足： 0 0 f x y ( ) ( , ) , 且当 x x0 x0 时, 使得 证 首先证明隐函数的存在与惟一性． 证明分为以下四步 U(P0 ) D ( ) 存在某邻域 U P0 1 ，在 内由方程 (1)
(a)“一点正，一片正” 由条件(v),不妨设 F,(x0,y0)>0. 因为F,(x,y)连续，所以根据 保号性，3B>0,使得 F,(x,y)>0,(x,y)∈S, 其中S=[x-B,x+B]xy-B,y+B1cD. 前页 后页 返回
前页 后页 返回 0 0 0 0 其中 S x x y y D. [ , ] [ , ] F (x, y) 0, (x, y) S, y 0 0 ( , ) 0. F x y y (a) “一点正, 一片正 ” 由条件 (iv), 不妨设 F (x, y) 因为 y 连续，所以根据 保号性， 0, 使得