因此,在级数(51.5)中 i)不含正幂项 i)含有限多的正幂项,且zm为最高幂 i)含有无穷多的正幂项; 则z=∞是(z)的 i)可去奇点; im级极点 i)性奇点
11 因此, 在级数(5.1.5)中, i)不含正幂项; ii)含有限多的正幂项, 且z m为最高幂; iii)含有无穷多的正幂项; 则z=是f(z)的 i)可去奇点; ii)m级极点; iii)本性奇点
又知道要确定≠=0是否(t)的可去奇点极点或 本性奇点,可以不必把Q(1)展开成洛朗极数来 考虑,只要分别看极限加m)是否存在(有限 值),为无穷大或即不存在又不为无穷大数就 可以了.由于f(z)=∞(),对于无穷远点也有同 样的确定方法,即z=∞是f(z)的可去奇点,极点 或本性奇点,完全看极限mO)是否存在(有限 值),为无穷大或即不存在又不是无穷大来决 定
12 又知道要确定 t=0 是否(t)的可去奇点,极点或 本性奇点, 可以不必把(t)展开成洛朗极数来 考 虑, 只要分别看极限lim ( ) 0 t t → 是否存在(有 限 值), 为无穷大或即不存在又不为无穷大数就 可以了. 由 于 f(z)=(t), 对于无穷远点也有同 样的确定方法, 即 z=是 f(z)的可去奇点, 极点 或本性奇点, 完全看极限lim f (t) z→ 是否存在(有限 值), 为无穷大或即不存在又不是无穷大来决 定
当z=∞是fz)的可去奇点时,可以认为f(z)在∞ 是解析的,只要取f(∞)=1m(x) 例如、函数f(2)=2+1在圆环域1<2<+∞内可 展开成 f(z) 11-1+2-3+…+(-1)”+ 1+ 它不含正幂项,所以∞是f(z)的可去奇点.如果 我们取f(∞)=1,则f(z)在∞解析
13 当 z=是 f(z)的可去奇点时, 可以认为 f(z)在 是解析的,只要取 f ( ) lim f (z). z→ = . 例如, 函数 1 ( ) + = z z f z 在圆环域 1<|z|<+内可 展开成 = − + − ++ − + + = n n z z z z z f z 1 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 3 它不含正幂项, 所以是 f(z)的可去奇点. 如果 我们取 f()=1, 则 f(z)在解析
又如函数()=+,含有正幂项,且z为最高 正幂项,所以∞为它的一级极点 函数sinz的展开式: 2n+1 sin2三2 3! +(-1) (2n+1) 含有无穷多的正幂项,所以∞是它的本性奇点
14 又如函数 z f z z 1 ( ) = + , 含有正幂项, 且 z 为最高 正幂项, 所以为它的一级极点. 函数 sin z 的展开式: + + = − + − + − + (2 1)! ( 1) 3! 5! sin 3 5 2 1 n z z z z z n n 含有无穷多的正幂项, 所以是它的本性奇点
§2留数
15 §2 留数