lim sin x = sin xo所以x→Xolim cos x = cosxo同理可证：x→Xox2-12例5证明：limli0l2x-x-1-3返回前页后页
前页 后页 返回 lim sin sin . 0 0 x x x x = → 同理可证: lim cos cos . 0 0 x x x x = → 所以 例5 证明： 2 2 1 1 2 lim ; x 2 1 3 x → x x − = − −
例6 证明:lim V1-x2=1-x (1x,1<1)x-→xo证 因为2/x-x≤y-x,xo8则V>0,取8=当 0<lx-x,<s 时,22/x-x,IV-x?-y1-x1≤<6.1-x这就证明了所需的结论后页返回前页
前页 后页 返回 例6 证明： lim 1 1 ( | | 1 ). 0 2 0 2 0 − = − → x x x x x 证 因为 2 2 0 0 0 2 2 0 | || | 1 1 1 1 x x x x x x x x − + − − − = − + − 则 0, , 2 1 2 − x0 = 取 0 当 时， 0 | | − x x 2 2 0 0 2 0 2 | | | 1 1 | . 1 x x x x x − − − − − 这就证明了所需的结论. 0 2 0 2 | | , 1 x x x − −
在上面例题中，需要注意以下几点1.对于S.我们强调其存在性.换句话说.对于固定的ε.不同的方法会得出不同的，不存在哪一个更好的问题2.8是不惟一的.一日求出了8，那么比它更小的正数都可以充当这个角色，3.正数ε是任意的，一旦给出,它就是确定的常数返回前页后页
前页 后页 返回 在上面例题中, 需要注意以下几点： 1. 对于 , 我们强调其存在性. 换句话说, 对于固定 的 , 不同的方法会得出不同的 , 不存在哪一个更 好的问题. 数都可以充当这个角色. 3. 正数 是任意的,一旦给出,它就是确定的常数. 2. 是不惟一的, 一旦求出了 , 那么比它更小的正
有时为了方便，需要让ε小于某个正数.一旦对这样的ε能找到相应的8，那么比它大的ε.这个8当然也能满足要求.所以我们有时戏称ε“以小为贵”。前页后页返回
前页 后页 返回 有时为了方便,需要让 小于某个正数. 一旦对这 为贵”. 当然也能满足要求. 所以我们有时戏称 “ 以小 样的 能找到相应的 , 那么比它大的 , 这个
4.函数极限的几何意义如图，任给ε>0,对于坐标平面上以V=A为中心线，宽为2ε的窄带,可以找到y8>0,使得曲线段=A+8Y=Ay= f(x), xeU(xo,s)Y=A-6落在窄带内0xSx.+sxo后页返回前页
前页 后页 返回 平面上以 y =A为中心线, 宽为 2 的窄带, 可以找到 0, 使得曲线段 ( ), ( , ) y f x x U x0 = 4. 函数极限的几何意义如图, 任给 0, 对于坐标 落在窄带内. y = A+ y = A y = A− O x y x0− x0 x0+