《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 函数极限

定义4 设f(x)在点x的某空心邻域U(xo;S)内有定义,A是一个常数.如果对于任意正数 8存在正数8<S,当0<|x-xl<时,有f(x)-A /<&,则称f(x)当x→x,时以A为极限.记为lim f(x)= Ax-xo或者f(x)→A (x→x)后页返回前页

前页 后页 返回 存在正数    , 0 当0< x x − 时,有 f (x) − A   , 定义4 设 f (x) 0 的某空心邻域 U x( ; )  在点 x0 内有定义，A是一个常数.如果对于任意正数  , 或者 0 lim ( ) x x f x A → = ( ) ( ). x A x x0 f → → ( ) . 则称 f x 当 x → x0 时以 A为极限 记为

定义5设f(x）在点x的某空心邻域U(x)内有定义，A是一个常数.如果对于任意正数 ε,存在正数s,当xeU(x,)cU(x)时f(x)-A /<,则称f(x)当x→x,时以A为极限.记为lim f(x)= Ax-xo或者f(x)→A (x→x)后页返回前页

前页 后页 返回 数 , ( , ) ( ) , 当 xU  x   U  x0 时 f (x) − A   , 定义5 设 f (x) 在点 x0 的某空心邻域U  (x)内有 定义，A是一个常数.如果对于任意正数  , 存在正 或者 0 lim ( ) x x f x A → = ( ) ( ). x A x x0 f → → ( ) . 则称 f x 当 x → x0 时以 A为极限 记为

x2-4例3 设：f(x)=二证明:lim f(x)=4;x-2X-2例4求证：(1) lim sin x = sin x,;x→Xo(2) lim cos x = cos xox-→xo返回前页后页

前页 后页 返回 例4 求证： 0 0 (1) lim sin sin ; x x x x → = 0 0 (2) lim cos cos . x x x x → = 例3 设： 2 4 ( ) , 2 x f x x − = − 2 证明: lim ( ) 4; x f x → =

证首先，在右图所示的单位圆内V元当0<x<=日时，显然有B2SAOAD<S扇形OAD< SAOAB,即0CAX1tanx.sin x一x222元故0<xsinx<x<tanx2返回前页后页

前页 后页 返回 证 首先，在右图所示的单位圆内, π 0 , 2 当   x 时 显然有 即 , SOAD  S扇 形OAD  SOAB tan , 2 1 2 1 sin 2 1 x  x  x 故 π sin tan 0 . 2 x x x x           O C D B A y x x

四时，sinx≤l<x，故对一切x>0,因为当x≥2有 sinx<x.又因为 sinx,x均是奇函数，故sinx ≤x, xeR上式中的等号仅在x=0时成立对于任意正数ε,取8=8,当0<x-x<8时，x+xox-Xosinx-sinx, =2cossin22≤ x-x, <6,后页返回前页

前页 后页 返回 上式中的等号仅在 x = 0 时成立. π , 2 因为当 x  时 sin x  1  x , 故对一切 x  0 , sin x  x , x  R. 有 sin x  x . 又因为 sin x, x 均是奇函数 , 故 0 0 0 sin sin 2 cos sin 2 2 x x x x x x + − − = 对于任意正数 取 =  , 0 ,  , 当  x − x0   时 0  −  x x 