因此有f (xo,y, +Ay)- f.(xo,yo)fx,(xo,Jo)= limAyAy→0f(x, +Ax,yo +Ay)-f(xo,y, +Ay)lim= limAxAy-oAy△x→0f(xo +Ax,yo)-f(xo,yo)- lim△x△x→01= lim limf(x, +Ax, yo +Ay)Ay→0Ax→0 △x△y-f(xo, yo +Ay) - f(x, +Ax, yo)+ f(xo, yo) I; (1)返回前页后页
前页 后页 返回 因此有 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim x x x y y f x y y f x y f x y y → + − = 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x y → x + − − 0 0 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) lim lim y x f x x y y f x y y y x → → + + − + = 0 0 0 0 1 lim lim ( , ) y x f x x y y → → x y = + + 0 0 0 0 0 0 − + − + + f x y y f x x y f x y ( , ) ( , ) ( , ) ; (1)
类似地有fyx(xo,Jo)= lim limf(x, +Ax, yo +Ay)Ax-0A-0△x△-f(x +△x, yo)- f(xo, yo +Ay)+ f(xo,yo) /. (2)为使 fx,(xo,yo)=fyx(xo,yo) 成立，必须使(1)、(2)这两个累次极限相等.下述定理给出了使(1)与(2)相等的一个充分条件定理 17.7 若 fx(x,y)与f,x(x,y) 都在点 (xo,Jo)连续，则后页返回前页
前页 后页 返回 类似地有 为使 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x y y x f x y f x y = 成立，必须使 (1)、(2) 这两个累次极限相等. 下述定理给出了使 (1) 与 (2) 相等的一个充分条件． 定理 17.7 若 ( , ) ( , ) x y y x f x y f x y 与 都在点 0 0 ( , ) x y 连续，则 0 0 0 0 0 0 1 ( , ) lim lim ( , ) y x x y f x y f x x y y → → x y = + + 0 0 0 0 0 0 − + − + + f x x y f x y y f x y ( , ) ( , ) ( , ) . (2)
(3)fx,(xo,yo) = f,x(xo,yo) .证令F(Ax,Ay) = f(x, +Ax,yo +Ay)- f(x, +Ax,yo)- f(xo,yo +Ay) + f(xo,yo),p(x) = f(x, yo +Ay)- f(x, yo)于是有F(Ax,Ay) =p(x, +Ax)-p(xo).(4)对 应用微分中值定理，, E(0,1),使得后页返回前页
前页 后页 返回 证 令 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), F x y f x x y y f x x y f x y y f x y = + + − + − + + 0 0 ( ) ( , ) ( , ). x f x y y f x y = + − 于是有 0 0 F x y x x x ( , ) ( ) ( ) . = + − (4) 对 应用微分中值定理， 1 (0, 1), 使得 0 0 0 0 ( , ) ( , ) . x y y x f x y f x y = (3)
p(x, +Ax)-p(x,) =p'(x, +0,Ax)Ax-[ f (x, +eAx,y, +Ay)-f (x, +eAx,yo)IAx.又f,(x,+e,Ax,J)作为y的可导函数,再使用微分中值定理，3e, =(0,1),使上式化为p(x, +Ax)-p(xo)= fx,(xo +e,Ax,yo +e, Ay)AxAy由 (4) 则有F(Ax,Ay) = fx,(x, +e,Ax, yo +e, Ay)AxAy(5)(0<0,0, <1)如果令后页返回前页
前页 后页 返回 0 1 ( , ) , x 又 作为 的可导函数 再使用微分 f x x y y + 中值定理， 2 (0, 1), 使上式化为 0 0 0 1 0 2 ( ) ( ) ( , ) . x y x x x f x x y y x y + − = + + 由 (4) 则有 0 1 0 2 1 2 ( , ) ( , ) (0 , 1). F x y f x x y y x y x y = + + (5) 如果令 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) x x x x x x + − = + 0 1 0 0 1 0 [ ( , ) ( , ) ] . x x = + + − + f x x y y f x x y x
y(x)= f(x, +Ax, y)- f(xo, y),则有F(Ax,Ay) =y(y, +Ay) -y(yo)用前面相同的方法，又可得到F(Ax,Ay) = fyr(x, +e,Ax, y, +0,Ay)AxAy(0<0,0, <1),当△x,△y不为零时，由(5),(6) 两式又得fx,(xo +0,Ax, yo +0,Ay)= f,x(x, +0,Ax, yo +0,Ay)(7)(0<0,,02,03,0, <1),后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 ( ) ( , ) ( , ), x f x x y f x y = + − 则有 0 0 F x y y y y ( , ) ( ) ( ). = + − 用前面相同的方法, 又可得到 0 3 0 4 3 4 ( , ) ( , ) (0 , 1). F x y f x x y y x y y x = + + 当 x y , 不为零时，由 (5), (6) 两式又得 0 1 0 2 0 3 0 4 1 2 3 4 ( , ) ( , ) (0 , , , 1). (7) x y y x f x x y y f x x y y + + = + +