a3zazara(2e++2)) = 2e++2yOyoxoxoyoxax例2 求函数 z=arctan二 的所有二阶偏导数,xz.oz-yx解军因为所以二阶偏导一2axx?+y?dyx2+y福数为a"za2xyVox(x+y)(x+y)Ox?后页返回前页
前页 后页 返回 3 2 2 2 2 (2e ) 2e . z z x y x y y x x y x x + + = = = 解 2 2 2 2 , , z y z x x y x y x y − = = + + 因为 所以二阶偏导 数为 2 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) z y x y x x y x y x − = = + + 例2 arctan . y z x 求函数 的所有二阶偏导数 =
动x2-y?2家(x2+y)x2-y?az a ( x二(x+y)ox( x2+ y2ayx福a'z-2xy注意在上面两个例子中都有azazOxoyoyox返回前页后页
前页 后页 返回 2 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) z y x y x y y x y x y − − = = − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 , ( ) z x x y y x x x y x y − = = − + + 2 2 2 2 2 2 2 2 . ( ) z x x y y x y x y y − = = + + 注意 在上面两个例子中都有 2 2 , z z x y y x =
即先对x后对与先对后对x的两个二阶偏导数相等（称这种既有关于x，又有关于的高阶偏导数为混合偏导数.但是这个结论并不对任何函数都成立，例如函数x2 -11,x+y+0,xyx'+y2'f(x,y) =x’+y =0.0,它的一阶偏导数为返回前页后页
前页 后页 返回 数为混合偏导数). 但是这个结论并不对任何函数都 成立，例如函数 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x y xy x y f x y x y x y − + = + + = 它的一阶偏导数为 即先对 、后对 与先对 、后对 的两个二阶偏导 x y y x 数相等 (称这种既有关于 x, 又有关于 y 的高阶偏导
(x*+4x*y-y), x+y*+0,(x2 + y)f,(x,y) =x +y =0;0,x(x-4x*y2-y), x*+y°+0,(x* + y")f,(x,y) =x + y2 = 0.0,进一步求f在点（0,0）关于x和y的两个不同顺序的混合偏导数：后页返回前页
前页 后页 返回 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 ( 4 ), 0, ( , ) ( ) 0, 0; x y x x y y x y f x y x y x y + − + = + + = 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 ( 4 ), 0, ( , ) ( ) 0, 0. y x x x y y x y f x y x y x y − − + = + + = 进一步求 在点 f (0,0) 关于 x 和 y 的两个不同顺序 的混合偏导数:
Jx,(0,0) = lim L,(0,Ay)- f,(0,0)-ny--1,) - limAyAy→0Ay-0 Ayf,(△x,0)- f,(0,0)△xfyx(0,0) = lim1limAxAr→0Ax→0 △x由此看到.这两个混合偏导数与求导顺序有关.那么在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢？为此先按定义把x,(xo,yo)与fyx(xo,yo）表示成极限形式.由于f(x+△x,y)- f(x,y)f,(x,y) = limAx△x→0后页返回前页
前页 后页 返回 0 0 (0, ) (0,0) (0,0) lim lim 1, x x x y y y f y f y f → → y y − − = = = − 0 0 ( ,0) (0,0) (0,0) lim lim 1. y y y x x x f x f x f → → x x − = = = 由此看到, 这两个混合偏导数与求导顺序有关. 那么 在什么条件下混合偏导数与求导顺序无关呢? 为此 先按定义把 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x y y x f x y f x y 与 表示成极限形 式. 由于 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim , x x f x x y f x y f x y → x + − =