《数学分析》课程教学课件（PPT讲稿）第十七章 多元函数微分学 §4 泰勒公式与极值问题

由定理假设fr(x,y)与fr(x,y)都在点(xo,yo)连续,故当△x→0,△y→0在且相等，这就得到所要证明的（3)式，注1若二元函数f(x,y）在某一点存在直到n阶的连续混合偏导数，则在这一点的所有m(m≤n）阶混合偏导数都与求导顺序无关注2这个定理对n元函数的混合偏导数也成立.例如三元函数f（x，y,z）的如下六个三阶混合偏导数fxyz(x,y,z), fxzy(x,y,z), fyzx(x,y,z)后页返回前页

前页 后页 返回 在且相等，这就得到所要证明的 (3) 式． 注 1 若二元函数 f x y ( , ) 在某一点存在直到 n 阶的 连续混合偏导数，则在这一点的所有 m m n ( )  阶混 合偏导数都与求导顺序无关． 注2 这个定理对 n 元函数的混合偏导数也成立. 例 ( , , ), ( , , ), ( , , ), x yz xz y yz x f x y z f x y z f x y z ( , ) ( , ) x y y x f x y f x y 与 0 0 由定理假设 都在点 ( , ) x y 连 续, 故当  →  → x y 0, 0 如三元函数 f x y z ( , , ) 的如下六个三阶混合偏导数

fyxz(x,y,z), ffx,(x,y,z), fzyx(x,y,z)若在某一点都连续，则它们在这一点都相等今后在牵涉求导顺序问题时，除特别指出外，一般都假设相应阶数的混合偏导数连续复合函数的高阶偏导数设z= f(x,y), x=p(s,t), y=y(s,t)若函数f,,都具有连续的二阶偏导数，则复合函数 z=f(p(s,t),y(s,t))对于 s,t 同样存在二阶连续后页返回前页

前页 后页 返回 ( , , ), ( , , ), ( , , ) y xz z x y z y x f x y z f x y z f x y z 若在某一点都连续，则它们在这一点都相等． 今后在牵涉求导顺序问题时, 除特别指出外, 一般 都假设相应阶数的混合偏导数连续． 复合函数的高阶偏导数 设 z f x y x s t y s t = = = ( , ), ( , ), ( , ).   若函数 f , ,   都具有连续的二阶偏导数，则复合函 数 z f s t s t s t = ( ( , ), ( , )) ,   对于 同样存在二阶连续

偏导数.具体计算如下：OzOz Ox OzOyasxosayosOz OzOx OzOyOtOx OtOy ot8-08-aOz.Oz是显然与仍是s,t的复合函数,其中axCyax x dy dy是 s,t的函数.继续求 zx,y的函数，as'at'as'at关于s,t的二阶偏导数：后页返回前页

前页 后页 返回 偏导数. 具体计算如下: , z z x z y s x s y s      = +      ; z z x z y t x t y t      = +      , , , z z z z s t s t x y 显然 与 仍是 的复合函数 其中 是         , , , , , , . x x y y x y s t z s t s t 的函数 是 的函数 继续求         关于 s t , 的二阶偏导数:

-0+（0一oxJasax oslasas?oslE+品（%）%+%品(%)a'z oxa'z oyox Oz o'xOx? osxoy osJasox os?o'z.ox+o'z.oyoy+oz.o'yOyox osoy? os Jasoy os?后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 z z x z x s s x s x s s z y z y s y s y s s            = +                           + +                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z x z y x z x x s s x y s s x z x z y y z y y x s s s y y s          =  +  +                       +  +  +             

a'z ox oy（g)+2oxoy os osz a'x,Oz a'ye（）0s?0s?0xay同理可得a'z Ox Oya'za'z (ox+24afoxlatOxoy ot atOz o'x Oz o'ye(%)福at?ax ot?oy后页返回前页

前页 后页 返回 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . z x z x y x s x y s s z y z x z y y s s s x y        = +                     + +  +         2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; z z x z x y t x t x y t t z y z x z y y t t t x y         = +                      + +  +         同理可得