动与不开动两种情况，所以本题可视为10重贝努里试验，可用二项概率公式进行 求解. 解：设A表示事件“设备开动”，X表示“同时开动的设备数”，则由二项 概率公式得：PX=k;=C(传)()0，同时开动不超过5台的概率： P(X≤5}=PX=0}+PX=1}+…+P{X=5}≈0.994： 故该天这10台设备能正常运作的概率为0.994. 10
10 动与不开动两种情况，所以本题可视为 10 重贝努里试验，可用二项概率公式进行 求解. 解：设 A 表示事件“设备开动”，X 表示“同时开动的设备数”，则由二项 概率公式得： k k k P X k C − = = 10 5 4 5 1 10 { } ( ) ( ) ，同时开动不超过 5 台的概率： P{X 5} = P{X = 0}+ P{X = 1}++ P{X = 5} 0.994 ； 故该天这 10 台设备能正常运作的概率为 0.994
第二章离散型随机变量 疑难分析 1、随机变量与普通函数 随机变量是定义在随机试验的样本空间2上，对试验的每一个可能结果 ⊙∈2，都有唯一的实数X(@)与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按一定 法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性：又普通函 数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间. 2、分布函数F(x)的连续性 定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数F(x)左连续，但 大多数书籍定义分布函数F(x)为右连续。左连续与右连续的区别在于计算F(x) 时，X=x点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于P{X=x}=0, 故定义左连续或右连续没有什么区别：对于离散型随机变量，由于 P{X=x,}≠0，则定义左连续或右连续时F(x)值就不相同，这时，就要注意对 F(x)定义左连续还是右连续。 3、随机变量的数字特征在概率论中有什么意义？ 知道一个随机变量的分布函数，就掌握了这个随机变量的统计规律性.但求得 一个随机变量的分布函数是不容易的，而且往往也没有这个必要随机变量的数字 特征则比较简单易求，也能满足我们研究分析具体问题的需要，所以在概率论中 11
11 第二章 离散型随机变量 疑 难 分 析 1、随机变量与普通函数 随机变量是定义在随机试验的样本空间 上，对试验的每一个可能结果 ，都有唯一的实数 X () 与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按一定 法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函 数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间. 2、分布函数 F(x) 的连续性 定义左连续或右连续只是一种习惯.有的书籍定义分布函数 F(x) 左连续，但 大多数书籍定义分布函数 F(x) 为右连续. 左连续与右连续的区别在于计算 F(x) 时， X = x 点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于 P{X = x1 } = 0， 故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于 P{X = x1 } 0 ，则定义左连续或右连续时 F(x) 值就不相同，这时，就要注意对 F(x) 定义左连续还是右连续. 3、随机变量的数字特征在概率论中有什么意义？ 知道一个随机变量的分布函数，就掌握了这个随机变量的统计规律性.但求得 一个随机变量的分布函数是不容易的，而且往往也没有这个必要.随机变量的数字 特征则比较简单易求，也能满足我们研究分析具体问题的需要，所以在概率论中
很多的应用，同时也刻画了随机变量的某些特征，有重要的实际意义 例如，数学期望反映了随机变量取值的平均值，表现为具体问题中的平均长 度、平均时间、平均成绩、期望利润、期望成本等：方差反映了随机变量取值的 波动程度：偏态系数、峰态系数则反映了随机变量取值的对称性和集中性因此， 在不同的问题上考察不同的数字特征，可以简单而切实地解决我们面临的实际问 题. 4、在数学期望定义中为什么要求级数绝对收敛？ 首先，数学期望是一个有限值：其次，数学期望反映随机变量取值的平均值， 因此，对级数来说，绝对收敛保证了值的存在，且对级数来说，又与项的次序无 关，从而更便于运算求值.要求级数绝对收敛是为了保证数学期望的存在与求出， 例题解析 【例1】分析下列函数是否是分布函数.若是分布函数，判断是哪类随机变量的分 布函数 [0,x<-2, 「0，x<0, 1 (1)F(x)= -2≤x<0.(2)F)=smx,0≤x<元 1,x20. 0 x<0, 8F={x+50sx< 1 x22 1 分析：可根据分布函数的定义及性质进行判断 12
12 很多的应用，同时也刻画了随机变量的某些特征，有重要的实际意义. 例如，数学期望反映了随机变量取值的平均值，表现为具体问题中的平均长 度、平均时间、平均成绩、期望利润、期望成本等；方差反映了随机变量取值的 波动程度；偏态系数、峰态系数则反映了随机变量取值的对称性和集中性.因此， 在不同的问题上考察不同的数字特征，可以简单而切实地解决我们面临的实际问 题. 4、在数学期望定义中为什么要求级数绝对收敛？ 首先，数学期望是一个有限值；其次，数学期望反映随机变量取值的平均值. 因此，对级数来说，绝对收敛保证了值的存在，且对级数来说，又与项的次序无 关，从而更便于运算求值.要求级数绝对收敛是为了保证数学期望的存在与求出. 例 题 解 析 【例 1】分析下列函数是否是分布函数.若是分布函数，判断是哪类随机变量的分 布函数. （1） − − = 1, 0. , 2 0, 2 1 0, 2, ( ) x x x F x （2） = 1, . sin ,0 , 0, 0, ( ) x x x x F x （3） + = . 2 1 1, , 2 1 ,0 2 1 0, 0, ( ) x x x x F x 分析：可根据分布函数的定义及性质进行判断
解：(1)F(x)在(-0，+0)上单调不减且右连续.同时， mF)=0,mF(x)=1.故F(x)是随机变量的分布函数.有F)的图形可 知是阶梯形曲线，故F(x)是离散型随机变量的分布函数 (2)由于F(x)在[巧，]上单调下降，故F()不是随机变量的分布函数.但 只要将F)中的改为号，F)荒满足单调不减右连续，且 mF()=O,mF()=1,这时F(x)就是随机变量的分布函数.由F()可求 「0，其它， 得f(x)=F'(x)= [COsx,0<x≤π显然，F（x)是连续型随机变量的分布图数： (3)F(x)在(-o,+0)上单调不减且右连续，且F(-∞)=0，F(+∞)=1， 是随机变量的分布函数但()在x=0和x一处不可导，故不存在密度函数 f(x),使得「广f(x)k=F(x).同时，F(x)的图形也不是阶梯形曲线，因而 F(x)既非连续型也非离散型随机变量的分布函数. 【例2】盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0、1、2、…、9.从中任取1 个，观察号码是“小于5”、“等于5”、“大于5”的情况.试定义一个随机变 量，求其分布律和分布函数. 分析：“任取1球的号码”是随机变量，它随着试验的不同结果而取不同的 值.根据号码是“小于5”、“等于5”、“大于5”的三种情况，可定义该随机 变量的取值.进一步，可由随机变量的分布律与分布函数的定义，求出其分布律与 分布函数 3
13 解：（1） F(x) 在 （− ,+） 上单调不减且右连续.同时， lim ( ) = 0, lim ( ) = 1 →− →+ F x F x x x .故 F(x) 是随机变量的分布函数.有 F(x) 的图形可 知是阶梯形曲线，故 F(x) 是离散型随机变量的分布函数； （2）由于 F(x) 在 , ] 2 [ 上单调下降，故 F(x) 不是随机变量的分布函数.但 只要将 F(x) 中的 改为 2 ， F(x) 就满足单调不减右连续，且 lim ( ) = 0, lim ( ) = 1 →− →+ F x F x x x ，这时 F(x) 就是随机变量的分布函数.由 F(x) 可求 得 = = . 2 cos ,0 0, ( ) ( ) x x f x F x 其它， 显然， F(x) 是连续型随机变量的分布函数； （3） F(x) 在 （− ,+） 上单调不减且右连续，且 F(−) = 0, F(+) =1， 是随机变量的分布函数.但 F(x) 在 x = 0 和 2 1 x = 处不可导，故不存在密度函数 f (x) ，使得 − = x f (x)dx F(x) .同时， F(x) 的图形也不是阶梯形曲线，因而 F(x) 既非连续型也非离散型随机变量的分布函数. 【例 2】盒中装有大小相等的球 10 个，编号分别为 0、1、2、…、9.从中任取 1 个，观察号码是“小于 5”、“等于 5”、“大于 5”的情况.试定义一个随机变 量，求其分布律和分布函数. 分析：“任取 1 球的号码”是随机变量，它随着试验的不同结果而取不同的 值.根据号码是“小于 5”、“等于 5”、“大于 5”的三种情况，可定义该随机 变量的取值.进一步，可由随机变量的分布律与分布函数的定义，求出其分布律与 分布函数
解：分别用0、02、0，表示试验的三种结果“小于5”、“等于5”、“大 于5”，这时试验的样本空间为①={@，2,0}，定义随机变量X为： 0,0=0 X=X(o)三Lo=%,X取每个值的概率为：PX=0y=0: 2,0=03 PX-1}= 4 10' PX=2=0故X的分布律为表2： 表2-4 X 0 1 2 5 4 10 10 10 当x<0时，F(x)=P{X≤x}=0: 当0Sx<1时，F)=PXs对=PX=0g=iO 5 :9=1=xd+0=Xd=xsXd=四)以z>x宗 当2≤x时，F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1+P{X=2=1 0,x<0 o0s<1 5 由此求得分布函数为：F(x)=P{X≤x= 01s<2 1,x≥2 【例3】设1小时内进入某图书馆的读者人数服从泊松分布.己知1小时内无人进 入图书馆的概率为0.01.求1小时内至少有2个读者进入图书馆的概率 14
14 解:分别用 1、2、3 表示试验的三种结果“小于 5”、“等于 5”、“大 于 5”，这时试验的样本空间为 { , , } = 1 2 3 ，定义随机变量 X 为： = = = = = 3 2 1 2, 1, 0, ( ) X X ， X 取每个值的概率为： 10 5 P{X = 0} = ， 10 1 P{X = 1} = ， 10 4 P{X = 2} = ；故 X 的分布律为(表 2-4)： 表 2-4 当 x 0 时， F(x) = P{X x} = 0 ； 当 0 x 1 时， 10 5 F(x) = P{X x} = P{X = 0} = ； 当 1 x 2 时， 10 6 F(x) = P{X x} = P{X = 0}+ P{X = 1} = ； 当 2 x 时， F(x) = P{X x} = P{X = 0}+ P{X = 1}+ P{X = 2} = 1 ； 由此求得分布函数为： = = 1, 2 ,1 2 10 6 ,0 1 10 5 0, 0 ( ) { } x x x x F x P X x . 【例 3】设 1 小时内进入某图书馆的读者人数服从泊松分布.已知 1 小时内无人进 入图书馆的概率为 0.01.求 1 小时内至少有 2 个读者进入图书馆的概率. X 0 1 2 Pk 10 5 10 1 10 4