(5)至多有两个事件发生：(6)至少有两个事件发生： (7)恰有两个事件发生：(8)恰有一个事件发生. 分析：利用事件的运算关系及性质来描述事件 解：(1)ABC:(2)ABC:(3)ABC或AUBOC:(4)AUBUC 或ABCABCABCUABCABCUABCABC:(5)AUBUC或 ABCABCUABCUABCUABCUABCUABC: (6)ABUACBC ABCUABCABCUABC (7)ABCUABCUABC:(8)ABCABCUABC. 【例3】把n个不同的球随机地放入N(N≥)个盒子中，求下列事件的概率： (1)某指定的n个盒子中各有一个球： (2)任意n个盒子中各有一个球： (3)指定的某个盒子中恰有m(m<n)个球 分析：这是古典概率的一个典型问题，许多古典概率的计算问题都可归结为 这一类型.每个球都有N种放法，n个球共有N"种不同的放法.“某指定的n个 盒子中各有一个球”相当于n个球在n个盒子中的全排列：与(1)相比，(2) 相当于先在N个盒子中选n个盒子，再放球：(3)相当于先从n个球中取m个 放入某指定的盒中，再把剩下的n一m个球放入N-1个盒中. 解：样本空间中所含的样本点数为N”. )该事件所含的样本点数是川，故：p=以：
5 （5）至多有两个事件发生； （6）至少有两个事件发生； （7）恰有两个事件发生； （8）恰有一个事件发生. 分析：利用事件的运算关系及性质来描述事件. 解：（1） ABC ；（2） ABC ；（3） ABC 或 ABC ；（4） ABC 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ；（5） ABC 或 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ； （6） ABACBC 或 ABC ABC ABC ABC ； （7） ABC ABC ABC ；（8） ABC ABC ABC . 【例 3】把 n 个不同的球随机地放入 N(N n) 个盒子中，求下列事件的概率： （1）某指定的 n 个盒子中各有一个球； （2）任意 n 个盒子中各有一个球； （3）指定的某个盒子中恰有 m(m n) 个球. 分析：这是古典概率的一个典型问题，许多古典概率的计算问题都可归结为 这一类型.每个球都有 N 种放法， n 个球共有 n N 种不同的放法.“某指定的 n 个 盒子中各有一个球”相当于 n 个球在 n 个盒子中的全排列；与（1）相比，（2） 相当于先在 N 个盒子中选 n 个盒子，再放球；（3）相当于先从 n 个球中取 m 个 放入某指定的盒中，再把剩下的 n−m 个球放入 N −1 个盒中. 解：样本空间中所含的样本点数为 n N . （1）该事件所含的样本点数是 n! ，故： n N n p = ! ；
(2)在N个盒子中选n个盒子有C。种选法，故所求事件的概率为： p=C (3)从n个球中取m个有Cm种选法，剩下的n-m个球中的每一个球都有 N-l种放法，故所求事件的概率为：p=C.W-1人 N 【例4】随机地向由0<y<1州<所围成的正方形内璃一点，点落在该正方形 内任何区域的概率与区域面积成正比，求原点和该点的连线与x轴正向的夹角小 于红的版率 分析：这是一个几何概率问题，通常可借助几何上的度量（长度、面积、体 积或容积等)来合理地规定其概率. 解：用S表示该正方形的面积，S表示 图1.2阴影部分面积，则所求的概率为： 0 图1.2 【例5】设事件A与B互不相容，且P(A)=p,P(B)=q,求下列事件的概率： P(AB),P(AUB),P(AB),P(AB). 分析：按概率的性质进行计算. 解：A与B互不相容，所以AB=中，P(AB)=P()=0：
6 （2）在 N 个盒子中选 n 个盒子有 n CN 种选法，故所求事件的概率为： n n N N C n p ! = ； （3）从 n 个球中取 m 个有 m Cn 种选法，剩下的 n−m 个球中的每一个球都有 N −1 种放法，故所求事件的概率为： n n m n N N N p C − − = ( 1) . 【例 4】随机地向由 2 1 0 y 1、x 所围成的正方形内掷一点，点落在该正方形 内任何区域的概率与区域面积成正比，求原点和该点的连线与 x 轴正向的夹角小 于 4 3 的概率. 分析：这是一个几何概率问题，通常可借助几何上的度量（长度、面积、体 积或容积等）来合理地规定其概率. 解：用 S 表示该正方形的面积， 1 S 表示 图 1.2 阴影部分 面积，则所求的概率为： 8 7 1 ) 2 1 ( 2 1 1 2 1 = − = = S S p . 【例 5】设事件 A 与 B 互不相容，且 P(A) = p, P(B) = q ，求下列事件的概率： P(AB), P(A B), P(AB), P(AB) . 分析：按概率的性质进行计算. 解： A 与 B 互不相容，所以 AB = ， P(AB) = P() = 0 ； x y 1 2 1 2 1 − 0 图 1.2
P(A+B)=P()+P(B)=p+q:由于A与B互不相容，这时AB=A,从而 P(AB)=P()=P:由于AB=AUB,从而 P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)=1-(p+q). 【例6】某住宅楼共有三个孩子，己知其中至少有一个是女孩，求至少有一个是 男孩的概率（假设一个小孩为男或为女是等可能的）. 分析：在已知“至少有一个是女孩”的条件下求“至少有一个是男孩”的概 率，所以是条件概率间题根据公式P(B1A)=PL4,必须求出P(AB,P氏A). P(4) 解：设A={至少有一个女孩}，B={至少有一个男孩}，则A={三个全是男孩} B={仁个全是女孩}，于是 11 PA)=2宁-8PB,事件AB为“至少有一个女孩且至少有一个男孩”，因 为AB=AUB,且AB=D,所以P(AB)=1-P(AB)=1-P(AUB)= 1-团+P=1--P=1-闭-从面：在起砂有 3 一个为女孩的条件下，求至少有一个是男孩的概率为： 3 【例7】某电子设备制造厂所用的品体管是由三家元件制造厂提供的.根据以往的 记录有以下的数据（表1-1）
7 P(A+ B) = P(A) + P(B) = p + q ；由于 A 与 B 互不相容，这时 AB = A ，从而 P(AB) = P(A) = p ；由于 AB = A B ，从而 P(AB) = P(A B) =1− P(A B) =1− ( p + q) . 【例 6】某住宅楼共有三个孩子，已知其中至少有一个是女孩，求至少有一个是 男孩的概率（假设一个小孩为男或为女是等可能的）. 分析：在已知“至少有一个是女孩”的条件下求“至少有一个是男孩”的概 率，所以是条件概率问题.根据公式 ( ) ( ) ( | ) P A P AB P B A = ，必须求出 P(AB), P(A) . 解：设 A ={至少有一个女孩}，B ={至少有一个男孩}，则 A ={三个全是男孩}， B ={三个全是女孩}，于是 ( ) 8 1 2 1 ( ) 3 P A = = = P B ，事件 AB 为“至少有一个女孩且至少有一个男孩”，因 为 AB = A B ，且 AB = ，所以 P(AB) =1− P(AB) =1− P(A B) = 8 7 , ( ) 1 ( ) 4 3 ) 8 1 8 1 1−[P(A) + P(B)] =1− ( + = P A = − P A = ，从而，在已知至少有 一个为女孩的条件下，求至少有一个是男孩的概率为： 7 6 8 7 4 3 ( ) ( ) ( | ) = = = P A P AB P B A . 【例 7】某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂提供的.根据以往的 记录有以下的数据(表 1-1)
表1-1 元件制造厂 次品率 提供品体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中均匀混合的，且无区别的标志.(1)在仓库中随机 地取一只品体管，求它是次品的概率.(2)在仓库中随机地取一只品体管，若已 知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率 分别是多少.试求这些概率 分析：事件“取出的一只晶体管是次品”可分解为下列三个事件的和：“这 只次品是一厂提供的”、“这只次品是二厂提供的”、“这只次品是三厂提供的”， 这三个事件互不相容，可用全概率公式进行计算.一般地，当直接计算某一事件A 的概率P(4)比较困难，而P(B,)P(AB)比较容易计算，且∑B,=2时，可 考虑用全概率公式计算P(A).(2)为条件概率，可用贝叶斯公式进行计算 解：设A表示“取到的是一只次品”，B,(i=1,2,3)表示“所取到的产品是 由第1家工厂提供的”.易知，B,B2,B是样本空间2的一个划分，且有 P(B)=0.15,P(B,)=0.80,P(B,)=0.05,P(A|B)=0.02,P(A|B)= 0.0L,P(AB)=0.03. (I)由全概率公式：P4)=∑P(B,)PAB)=0.0125 8
8 表 1-1 元件制造厂 次品率 提供晶体管的份额 1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中均匀混合的，且无区别的标志.（1）在仓库中随机 地取一只晶体管，求它是次品的概率.（2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已 知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率 分别是多少.试求这些概率. 分析：事件“取出的一只晶体管是次品”可分解为下列三个事件的和：“这 只次品是一厂提供的”、“这只次品是二厂提供的”、“这只次品是三厂提供的”， 这三个事件互不相容，可用全概率公式进行计算.一般地，当直接计算某一事件 A 的概率 P(A) 比较困难，而 ( ), ( | ) P Bi P A Bi 比较容易计算，且 = i Bi 时，可 考虑用全概率公式计算 P(A) .（2）为条件概率，可用贝叶斯公式进行计算. 解：设 A 表示“取到的是一只次品”， B (i =1,2,3) i 表示“所取到的产品是 由第 i 家工厂提供的”.易知， 1 2 3 B ,B ,B 是样本空间 的一个划分，且有 ( ) 0.15, ( ) 0.80, ( ) 0.05, ( | ) 0.02, ( | ) P B1 = P B2 = P B3 = P A B1 = P A B2 = 0.01,P(A| B3 ) = 0.03. （1）由全概率公式： ( ) ( ) ( | ) 0.0125 3 1 = = i= P A P Bi P A Bi
(2)由贝叶斯公式： P代B10=P1IB)B2=024,PA,1A0=064,PB1)=012.以上结 P(A) 果表明，这只次品来自第二家工厂的可能性最大 【例8】一名工人照看A、B、C三台机床，已知在1小时内三台机床各自不需 要工人照看的概率为P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(C)=0.7.求1小时内三台机床至 多有一台需要照看的概率. 分析：每台机床是否需要照看是相互独立的，这样，可根据事件的独立性性 质及加法公式进行计算 解：各台机床需要照看的事件是相互独立的，而三台机床至多有一台需要照 看的事件D可写成：D=ABC+ABC+ABC+ABC,则由加法公式与独立性 性质得：P(D)=P(ABC+ABC+ABC+ABC)=P(ABC)H P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+ P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.902. 【例9】某车间有10台同类型的设备，每台设备的电动机功率为10千瓦.己知每 台设备每小时实际开动12分钟，它们的使用是相互独立的.因某种原因，这天供 电部门只能给车间提供50千瓦的电力.问该天这10台设备能正常运作的概率是多 少？ 分析：由题意知，所要求的概率就是求“该天同时开动的设备不超过5台” 这一事件的概率.因为每台设备的使用是相互独立的，且在某一时刻，设备只有开
9 （2）由贝叶斯公式： 0.24, ( | ) 0.64, ( | ) 0.12 ( ) ( | ) ( ) ( | ) 2 3 1 1 1 = = P B A = P B A = P A P A B P B P B A .以上结 果表明，这只次品来自第二家工厂的可能性最大. 【例 8】一名工人照看 A、B、C 三台机床，已知在 1 小时内三台机床各自不需 要工人照看的概率为 P(A) = 0.9, P(B) = 0.8, P(C) = 0.7 .求1小时内三台机床至 多有一台需要照看的概率. 分析：每台机床是否需要照看是相互独立的，这样，可根据事件的独立性性 质及加法公式进行计算. 解：各台机床需要照看的事件是相互独立的，而三台机床至多有一台需要照 看的事件 D 可写成： D = ABC + ABC + ABC + ABC ，则由加法公式与独立性 性质得： P(D) = P(ABC + ABC + ABC + ABC) = P(ABC) + P(ABC) + P(ABC) + P(ABC) = P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) =0.902. 【例 9】某车间有 10 台同类型的设备，每台设备的电动机功率为 10 千瓦.已知每 台设备每小时实际开动 12 分钟，它们的使用是相互独立的.因某种原因，这天供 电部门只能给车间提供50千瓦的电力.问该天这10台设备能正常运作的概率是多 少？ 分析：由题意知，所要求的概率就是求“该天同时开动的设备不超过 5 台” 这一事件的概率.因为每台设备的使用是相互独立的，且在某一时刻，设备只有开