回顾 上节课： ·离散傅里叶变换 ·三角级数近似 2
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傅里叶变换的矩阵表达形式 给定{aj},求{p(ω)} pa)=∑e ωj p(x)= ax! j=0 i=0 ao p(ω) wo @1 … wn p(w1) wn an p(on) 注意：对复数向量的内积，通常需要取共轭复数后再做内积 单位根的共轭复数w→w-1,这对应于Hermitian 对复数矩阵A,“正交”的正确定义是指Unitary:AHA=I 3
傅里叶变换的矩阵表达形式 3 �(�! ) = & "#$ % �"�!" � � = $ !"# $ �!�! �# �# �# �% ⋯ ⋯ �# �$ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ �# �$ ⋯ �$! �# �% ⋮ �$ = �(�#) �(�%) ⋮ �(�$) 注意：对复数向量的内积，通常需要取共轭复数后再做内积 单位根的共轭复数� → �&%，这对应于Hermitian 对复数矩阵 � ，“正交”的正确定义是指Unitary：�'� = � 给定 {�!}，求 � �(
傅里叶逆变换的矩阵表达形式 给定{p(w)},求{a} 1 ∑p(u)aw-i p(x)= n+1 j=0 i=0 0 wO QO p(ω) ao w1 wo 0… w-n p(ω2) a1 n+1 )0 w-n w-n2 p(wn) 注意：对复数向量的内积，通常需要取共轭复数后再做内积 单位根的共轭复数w→w-1,这对应于Hermitian 对复数矩阵A,“正交”的正确定义是指Unitary:AHA=I 4
傅里叶逆变换的矩阵表达形式 4 �! = 1 � + 1& "#$ % � �" �&!" � � = $ !"# $ �!�! % $)% �# �# �# �&% ⋯ ⋯ �# �&$ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ �# �&$ ⋯ �&$! �(�#) �(�%) ⋮ �(�$) = �# �% ⋮ �$ 注意：对复数向量的内积，通常需要取共轭复数后再做内积 单位根的共轭复数� → �&%，这对应于Hermitian 对复数矩阵 � ，“正交”的正确定义是指Unitary：�'� = � 给定 � �( ，求{�!}
傅里叶变换的矩阵表达形式 为什么这是一个逆变换？ wO wo O 0 -1 w-n w1 . an =(n+1)1 w-n w-n2 0 wn … 2 考虑乘积的(i,)位置上的元素 1-o(n+1)0-i) n+1 n+1 j≠i ωk0-0= 1-wj-i, n+1, j=i 注意：对复数向量的内积，通常需要取共轭复数后再做内积 单位根的共轭复数w→w-1,这对应于Hermitian 对复数矩阵A,“正交”的正确定义是指Unitary:AHA=I 5
傅里叶变换的矩阵表达形式 5 �# �# �# �&% ⋯ ⋯ �# �&$ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ �# �&$ ⋯ �&$! �# �# �# �% ⋯ ⋯ �# �$ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ �# �$ ⋯ �$! = � + 1 � 注意：对复数向量的内积，通常需要取共轭复数后再做内积 单位根的共轭复数� → �&%，这对应于Hermitian 对复数矩阵 � ，“正交”的正确定义是指Unitary：�'� = � 为什么这是一个逆变换？ 考虑乘积的(�,�)位置上的元素: $ *"# $)% �&+*�*! = $ *"# $)% �* !&+ = 1 − � $)% !&+ 1 − �!&+ , � ≠ � � + 1, � = �
回到离散三角级数的正交性 设整数r不能整除2m,则 cos(rx)=0,1 sin(rxj)=0. 并且，∑号61cos2(ry)=m,200-1sin2(rx）=m 证明：设整数r不能整除2m x1=-π+m,j=0,1,,2m-1 m eiz cosz+isinz 2m-1 2m-1 2m-1 cos(rxj)+i sin(rxj)= i=0 j=0 j=0 2m-1 1-ei2nr =e-irπ eirin/m =e-irn_ 1-eirn/m =0 =0 实部和虚部都必须为零！ 值得注意的是，erx=e-irπwj,其中ω为2m次单位根之一 6
回到离散三角级数的正交性 设整数 �不能整除2�，则 ∑ ! " # ,- & % cos ( � �! ) = 0, ∑ ! " # $% & ' sin ( � �! ) = 0 . 并且 ， ∑ ! " # $% & ' cos $ ( � �! ) = �, ∑ # $ % &' ( ) sin & ( � �# ) = � . 证明：设整数 �不能整除2��! = − � + �� � , � = 0 , 1 , … , 2� − 1 �"# = cos � + � sin � $!"# ,- & % cos ( � �! ) + � 4!"# $% & ' sin ( � �! ) = )"#$ %& ' ( � ) * + ! = � & + ./ $!"# ,- & % � + .! / / - = � & + ./ 1 − � + ,/ . 1 − � + ./ / - = 0 实部和虚部都必须为零 ！ 值得注意的是， � + . 1 , = � & + ./ �.!，其中 � 为2�次单位根之一 6