E1<x1ExE微扰适用条件表明: (1)|H=|<v20)H|vn))|要小,即微扰矩阵元要小; (2)|En0-E1要大,即能級间距宽。 例如:在库仑场中,体系能量〔能级)与量子数n2成反 比,即 En=-Z2e2/2h2n2(n=1,2,3,…) 由上式可见,当n大时,能级间距变小,因此微扰理论 不适用于计算高能级(n大)的修正,而只适用于计算 低能级(n小)的修正
微扰适用条件表明： （2）|En (0) – Ek (0)| 要大，即能级间距要宽。 例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数n2成反 比，即 En = - μ Z2 e 2 /2 2 n2 ( n = 1, 2, 3, ...) 由上式可见，当n大时，能级间距变小，因此微扰理论 不适用于计算高能级（n大）的修正，而只适用于计算 低能级（n小）的修正。 （1）|H’ kn| = | <ψk (0) | H’ |ψn (0) >| 要小，即微扰矩阵元要小； (0) (0) (0) (0) 1 n k n k kn E E E E H −
(五)讨论 表明扰动态矢ψn可以看成是未扰动态矢中)>的线性叠加。 (1)在一阶近似下: vn>v>+∑ k (0) k≠n E E (2)展开系数Hkn/(En(0)-Ek(0)裹明k个未扰动庵矢|ψk(0 对第n个扰动庵矢ψn>的贡有多大。展开系数反比于扰动前状间的 能量间丽,所以能量最接近的ψk〉混合的也越强。因此庵矢一阶 修正无须计算无限多项。 (3)由En=En0+Hn可知,扰动后体系能量是由扰动前第n庵能 量En(0)加上微就 hamilton量H'在来微扰|ψn0)>中的平均組成 该可能是正或负,引起原來能級上糁或下簃。 (4)对满足适用条件 微扰的问题,通常只求一阶微扰其 精度就足够了。如果一级能量修正 m/<1 E0≠E00 H'nn=0就需要求二级修正,态 E0)-E( 矢求到一级修正即可。 ▲(5)在推导微扰理论的过程中,我们引入了小量,令:H=H①)只是 为了于将扰动后的定 Schrodinger方程能够按λ的幂次分出各阶修正庵矢 所演足的方程,仅此而已。一旦得到了各阶方程后,λ就可不用再明显写出, 把H()理解为H即可,因此在以后讨论中,就不开明确写出这一小量
− = + (0) (0) (0) (0) | | | k n k k n k n n n E E H 表明扰动态矢|ψn>可以看成是未扰动态矢|ψk (0)>的线性叠加。 （2）展开系数 H’ k n /(E n (0) - E k (0)) 表明第k个未扰动态矢|ψk (0)> 对第n个扰动态矢|ψn> 的贡献有多大。展开系数反比于扰动前状态间的 能量间隔，所以能量最接近的态|ψk (0)> 混合的也越强。因此态矢一阶 修正无须计算无限多项。 （3）由En = E n (0) + Hn n可知，扰动后体系能量是由扰动前第n态能 量E n (0)加上微扰Hamilton量 H’在未微扰态|ψn (0)>中的平均值组成。 该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。 （4）对满足适用条件 (0) (0) (0) (0) 1 n k n k kn E E E E H − 微扰的问题，通常只求一阶微扰其 精度就足够了。如果一级能量修正 H’ n n = 0 就需要求二级修正，态 矢求到一级修正即可。 （5）在推导微扰理论的过程中，我们引入了小量λ，令： H’ = λH(1)只是 为了便于将扰动后的定态Schrodinger方程能够按λ的幂次分出各阶修正态矢 所满足的方程，仅此而已。一旦得到了各阶方程后，λ就可不用再明显写出， 把H (1) 理解为H’即可，因此在以后讨论中，就不再明确写出这一小量。 （1）在一阶近似下： （五）讨论
(六)实例 例1.一电荷为e的线性谐振子,吳恒定弱电场ε作用。 电场沿X正向,用微扰法求体系的定态能量和波函数 解: 2 (1)电谐振子 Hamilton量 2u dr2 +,po.-ear 将 Hamilton量分成H+H两 方d 十 部分,在弱电场下,上式最后 2u dx 项很小,可看成微批。 e Ec (2)写出H的本征值和本征函数EO,中n0 a=, (3)计算Ea 2n! E(0)=ho(n+) n=0,1,2,… EW=Him= vior)ax (0) 上式积分于0 =-e8 Pr 是因为被积函数为音函教所政
例1.一电荷为 e 的线性谐振子，受恒定弱电场ε作用。 电场沿 x 正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。 解： （1）电谐振子Hamilton 量 x e x dx d H = − + − 2 2 2 1 2 2 2 2 ˆ 将 Hamilton 量分成H0 + H’ 两 部分，在弱电场下，上式最后一 项很小，可看成微扰。 = − = − + H e x x dx d H ˆ 2 ˆ 2 2 2 1 2 2 2 0 （2）写出 H0 的本征值和本征函数 E (0) , ψn (0) ( ) 0,1,2, 2 ! ( ) 2 (0) 1 (0) / 2 2 2 = + = = = = − E n n n N N e H x n n n n x n n （3）计算En (1) 0 ˆ (0)* (0) (1) (0)* (0) = − = = = − − e x dx E H H dx n n n nn n n 上式积分等于 0 是因为被积函数为奇函数所致。 （六）实例
(4)计算能量 欲计犷能量二级修正 二级修正首先应计算Hn矩阵元 0) y H'yn dx=-ee vk (0) xy dx 用线性谐振子本征函数的递推公式:xVn=alV2yn1+y"Wn+1 Hn=- es wfor'dlv2y+√yvd eel wor viy/ie c+ wfo V2 m dI n a 1v2k, n-1 20k,n+1 代入 2 ∑ I√0kn1+√"n+l k≠n E-E k≠n E0)-E (a)2∑ro k≠n E-E 20k.n+1 对谐振子有; 九O n n-E0)+ 九 E-E (0) n
（4）计算能量 二级修正 欲计算能量二级修正， 首先应计算 H’ k n 矩阵元。 H H dx e x dx k n k n k n (0)* (0) (0)* (0) ˆ − − = = − 利用线性谐振子本征函数的递推公式： [ ] 2 1 1 2 1 1 + + = − + n n n n n x H e dx n n n n kn k [ ] (0) 2 1 (0) 1 2 1 (0)* 1 + + − − = − + [ ] (0) 2 1 (0) (0)* 1 2 1 1 (0)* e dx dx n n n k n k + + − − − = − + [ ] 2 , 1 1 2 , 1 + + = − − + k n n k n e n (0) (0) 2 (2) | | n k kn k n n E E H E − = (0) (0) 2 2 . 1 1 2 , 1 | [ ]| n k k n n k n e n k n E − E − + = + + − [ ] 1 ( ) 2 . 1 1 (0) (0) 2 , 1 2 + + − + − = k n n k n n k n n k e E E − + − = + + − (0) 1 2 (0) 1 (0) 1 2 (0) 2 1 1 ( ) n n n n n e n E E E E 对谐振子有； En (0) - En-1 (0) = ω, En (0) - En+1 (0) = - ω， 代入
(2)1+"1 =-/e)2 ∵C= 由此式可知,能级移动与n元关, hua 即与扰动前振子的状无关。 ∑n0mno"=∑-al 6n1+√δ k,n+1l,(0) k E (0) E E0)-E0 n+1 o%1+1/了 灬#/=eE, n+lv(o) (0 2hua n+1 h (6)讨论: 1.电谐振子问题亦可在粒子数表中求解微扰矩阵元 0)=<n|H|n>=-8<n|x|n>=-"6<川+n> x=, eek<nan>+<川||nml a a n>an n-1> =e8|Vn<n|n-1>++1<mn+1=0 a|n>=Vn+1|n+1>
( ) [ ] 1 2 1 1 2 (2) 2 − + = + e n n En = − = 2 2 2 1 ( ) e 2 2 2 2 e = − 由此式可知，能级移动与 n 无关， 即与扰动前振子的状态无关。 (0) (0) (0) (1) k n k kn k n n E E H − = (0) (0) (0) 2 , 1 1 2 , 1 [ ] k n k k n n k n e n k n E E − − + = + + − − + − = − + + + − − (0) (0) 1 1 2 (0) (0) 1 (0) 1 1 2 (0) 1 1 n n n n n n n e n E E E E − = − + + + − (0) 2 1 (0) 1 2 1 1 1 n n n e n (0) 1 (0) 3 1 1 2 1 = n + n+ − n n− e （6）讨论： 1.电谐振子问题亦可在粒子数表象中求解微扰矩阵元 En = n H | n ˆ | (1) = −e n | x | n = − + + e n | [a ˆ a ˆ ]| n 2 1 [ | ˆ | | ˆ | ] 2 1 = − + + e n a n n a n [ | 1 1 | 1 ] 2 1 = −e n n n − + n + n n + = 0 [ˆ ˆ ] 2 1 + x = a + a = + + = − + ˆ | 1 | 1 ˆ | | 1 a n n n a n n n