(2)态矢的一级修正|ψn() 为了求出体系态矢的一级修正,我们先利用 v">=∑a|vx 扰动态矢|业n>的归一化条件证明上式展开 k=1 系数中an()=0(可以取为0)。 基于|yn>的归一化条件并考虎上面的展开式, 1=<vnvn>=|<vn0|+<vn|v>+A|vm斗 <v0|y0>+<ym|yn)>+<v|y0>+22<y|yn> 由子 (1)k<V +∑a<v|vx>+a o)|v)>l+2 归 k=1 1+∑Iank+a“Sl+2 1+alam +am*I 所以 孔[a(+a()=0∵≠0∴[am)+a)+=0→> Rela)l=0 an(1)的奥部为0(1)是一个纯数,敞可句10(1)= y(y为实)。 yu >y +见 =v2>+amy>+x∑a|v k=1 k≠n =lvo)>+hiylvmo)>+a2 agn Ivo)>=(1+ air)lv o)>+a akn ivo +见
（2）态矢的一级修正 |ψn (1)> = = (1) (0) 1 (1) | | kn k k n a 为了求出体系态矢的一级修正，我们先利用 扰动态矢|ψn >的归一化条件证明上式展开 系数中an n (1)= 0 （可以取为 0 ）。 证： 基于|ψn > 的归一化条件并考虑上面的展开式， 1 = n | n [ | |] [| | ] (0) (1) (0) (1) = n + n • n + n = + + + (0) (0) (0) (1) (1) (0) 2 (1) (1) | | | | n n n n n n n n (1) (0) (0) (1) (0) (0) 2 1 = 1+ [ | + * | ]+ = k n n k k n k n k a a (1) (1) 2 1 = 1+ [ + * ]+ = kn nk kn kn k a a 1 [ *] (1) (1) + ann + ann 由于 归一， 所以 [ *] 0 0 [ *] 0 Re[ ] 0 (1) (1) (1) (1) (1) ann + ann = ann + ann = ann = an n (1) 的实部为 0。an n (1) 是一个纯虚数，故可令 an n (1) = i （ 为实）。 = + = (1) (0) 1 (0) | | | kn k k n n a = + + (0) (1) (0) (1) (0) | | | kn k k n n ann n a = + + (0) (0) (1) (0) | | | kn k k n n i n a = + + (0) (1) (0) (1 )| | kn k k n i n a = + (0) (1) (0) | | kn k k n n i e a = + (0) (1) (0) | | kn k k n n i e a
(三)能量的二阶修正 上式结果表明,展开式中,an)yn)>项的 夺在只不过是使薏个态矢量ψn>增加了一个相因子,这 是无关紧要的。所以我们可取 Y=0,即 0。这样一来 v>=v>+2avx>=v>+2 HOly( E(0)-E =v>+∑ <VI)lAHO (0) (0)>十 ym>=vm>+∑ < IHy E()-E(0) k≠H k≠H E-E =v>+3Hh|v>按|wn>展开: 与求态矢的一阶修正一样,将vn(2)> k v2>=∑>wva2>=∑alvg> 与№n2()>展开式一起代 入关于2的第三式 [H(O-E akn lyko)>=-[HO-end aknlvko)>+ER))> ∑ IEO)-E vx>=-h(-ED∑ay>+E2|v
− = + (0) (0) (0) (0) (0) (0) | | ˆ | | k n k k n k n n E E H 上式结果表明，展开式中，an n (1) |ψn (0) > 项的 存在只不过是使整个态矢量|ψn > 增加了一个相因子，这 是无关紧要的。所以我们可取 = 0，即 an n (1) = 0。这样一来， = + (0) (1) (0) | | | kn k k n n n a − = + (0) (0) (0) (0) (1) (0) (0) | | ˆ | | k n k k n k n n E E H − = + (0) (0) (0) (0) | | k n k kn k n n E E H 与求态矢的一阶修正一样，将|ψn (2) > 按 |ψn (0) > 展开： = = = = (2) (0) 1 (0) (0) (2) 1 (2) | | | | k n k k k k n k n a 与|ψn (1) >展开式一起代 入 关于 2 的第三式 − = − − + = = (1) (0) (2) (0) 1 (2) (0) (1) (1) 1 (0) (0) ] | | ˆ ] | [ ˆ [ k n k n n k k n k n k H En a H E a E − = − − + = = (1) (0) (2) (0) 1 (0) (0) (2) (0) (1) (1) 1 ] | | ˆ [ ] | [ k n k n n k k n k n k n k E E a H E a E − = + (0) (0) (0) (0) (1) (0) (0) | | ˆ | | k n k k n k n n E E H （三）能量的二阶修正
左乘态∑E"- Et Jak2<w o ko)>1=-∑a"<vfv> k=1 k=1 +Eme akn k< o)l o )>+Em <w o)l 10)> 正交归一性 ∑ E0a26 akn <ym hly>tEd a8+E8 k=1 k=1 LEm-ESOJam2=-2 H+Edam+Em8n H (0 E-E 当m=n时 0=∑am+Elm+E2 E 2 H-H (1)(1) ∑ E E (0) k HWH H (1)12 k*n E(o) E()-E 在推导中 (1)* (0) H (1),/(0) < (0)( 用了微扰矩 阵的厄密性 <v。|0v)>=Hm
k n mk n mn k k n m k n k k n k n mk k E E a a H E a E (1) (2) 1 (1) (0) (1) (0) (1) 1 (0) (0) (2) 1 | ˆ [ − ] = − | + + = = = 左乘态矢 <ψm (0) | 1. 当 m = n 时 (1) (1) (1) (1) (2) 1 0 kn mk n mn n k = − a H + E a + E = (1) (1) (1) (1) 1 (2) kn nk nn nn k n E = a H − H a = (1) (1) kn nk k n a H = (1) (0) (0) (1) nk n k kn k n H E E H − = (0) (0) (1) (1)* n k kn kn k n E E H H − = (0) (0) (1) 2 | | n k kn k n E E H − = 在推导中使 用了微扰矩 阵的厄密性 (1)* (0) (1) (0) * | ˆ Hkn = k | H n = (0) (1)+ (0) | ˆ | n H k = (0) (1) (0) | ˆ | n H k (1) = Hnk + + − = − = = = (1) (0) (0) (2) (0) (0) 1 (1) (1) (0) (1) (0) 1 (0) (0) (2) (0) (0) 1 | | | ˆ [ ] | | k n m k n m n k n k n m k k k n k n m k k E a E E E a a H k n mk n mn n mn k Em En amn a H E a E (1) (1) (1) (1) (2) 1 (0) (0) (2) [ − ] = − + + = 正交归一性 (0) (0) (1) (1) n k kn kn E E H a − =
2当m≠n时Em-E|a=-∑aH+E"m ∑ H HDa E-E (0) E-E HWH HH ∑ kI (0 (0) k≠ 能量的二级修正 K<vingO E(2)=2 ∑ H >_e kylIH'lyu> E-E (0) ∑ E-E 0) k≠ k ∑ H (0) E-E 在计及二阶修正后,扰动体系能量本征值由下式给出 E,=E+E+EPy=E+Hm+∑ H k k≠n EWO-E
2. 当 m ≠ n 时 (1) (1) (1) (1) 1 (0) (0) (2) [ ] k n mk n mn k m n mn E − E a = − a H + E a = (0) (0) (1) (1) (0) (0) (1) (1) 1 (2) n m nn mn n m k n mk k mn E E H a E E a H a − − − = = (0) (0) 2 (1) (1) (0) (0) (0) (0) (1) (1) [ ][ ] [ ] n m nn mn n m n k k n mk k n E E H H E E E E H H − − − − = 能量的二级修正 (0) (0) (1) 2 2 (2) 2 | | n k kn k n n E E H E − = (0) (0) (0) (1) (0) 2 | | ˆ | | n k k n k n E E H − = (0) (0) (0) (0) 2 | | ˆ | | n k k n k n E E H − = (0) (0) 2 | | n k kn k n E E H − = 在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出： (0) (0) 2 (0) (1) 2 (2) (0) | | n k k n k n n n n n n nn E E H E E E E E H − = + + = + +
(四)微扰理论适用条件 总结上迷 在非简并情况下,受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出: En=E+Hm+∑ IH (0) k≠n E vn>=v>+∑ >十 E(0)-E 欲使二式有义。则要求二级教收敛。由于不知级数的一 般项,元法刿斷級数的收敛性,我们只能要水級薮已知项中, 后项远小于前项。由此敦们得到微犹理论垽用条件是 这就是本节开始时提到的关于H 很小的明确表示式。当这一条件被 <1E0≠E满足时,由上式计算得到的一级修 E(0)-E 正通常可给出相当精确的结果
总结上述， 在非简并情况下，受扰动体系的能量和态矢量分别由下式给出： + − = + + − = + + (0) (0) (0) (0) (0) (0) 2 (0) | | | | | k n k k n k n n n n k k n k n n n nn E E H E E H E E H 欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一 般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中， 后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是： (0) (0) (0) (0) 1 n k n k kn E E E E H − 这就是本节开始时提到的关于 H’ 很小的明确表示式。当这一条件被 满足时，由上式计算得到的一级修 正通常可给出相当精确的结果。 （四）微扰理论适用条件