由于∠ACB>∠ABC,可以作一个点D满足∠ACD ∠ABC 使得△ACD∽△ABC ②如图27-2(1),若点D在线段AB的延长线上 则∠ACD>∠ACB>∠ABC,与条件矛盾 因此,这样的点D不存在 ③如图27-2(2),若点D在线段AB的反向延长线上,由于 ∠BAC是锐角,则∠BAC<90°<∠CAD
由 于 ∠ACB>∠ABC ， 可 以 作 一 个 点 D 满 足 ∠ACD ＝ ∠ABC， 使得△ACD∽△ABC. ②如图 27-2(1)，若点 D 在线段 AB 的延长线上， 则∠ACD>∠ACB>∠ABC，与条件矛盾． 因此，这样的点 D 不存在． ③如图 27-2(2)，若点 D 在线段 AB 的反向延长线上，由于 ∠BAC 是锐角，则∠BAC<90°<∠CAD
不可能有△ACD∽△ABC 因此,这样的点D不存在 综上所述,这样的点D有一个 (2)①当∠BAC为直角时,仿照(1)的方法,易求得在线段 AB和线段AB的反向延长线上各有一个点D,使得 △ACD∽△ABC,即这样的点D有两个 ②当∠BAC为钝角时,仿照(2)的方法,易求得只有线段 AB上有一个这样的点D
不可能有△ACD∽△ABC. 因此，这样的点 D 不存在． 综上所述，这样的点 D 有一个． (2)①当∠BAC 为直角时，仿照(1)的方法，易求得在线段 AB 和 线 段 AB 的 反 向 延 长 线 上 各 有 一 个 点 D ， 使 得 △ACD∽△ABC，即这样的点 D 有两个． ②当∠BAC 为钝角时，仿照(2)的方法，易求得只有线段 AB 上有一个这样的点 D
神总结》分类讨论思想是种很重要的数学思想方 法,它贯穿于整个中学数学的全部內容中,需要运用分类讨论 的思想解决的数学问题,就其引起分类的原因,可归结为:① 涉及的数学概念是分类定义的(如:有理数的概念);②求解的 数学问题的结论有多种情况或多种可能(如本例);③数学问题 中含有参变量,这些参变量的取值会导致不同的结果.[如:函 数y=mx2+(m-1)x+2中有参变量m应用分类讨论,往往能使 复杂问题简单化,解题思路清晰,步骤明了
分类讨论思想是一种很重要的数学思想方 法，它贯穿于整个中学数学的全部内容中，需要运用分类讨论 的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：① 涉及的数学概念是分类定义的(如：有理数的概念)；②求解的 数学问题的结论有多种情况或多种可能(如本例)；③数学问题 中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同的结果．[如：函 数 y＝mx2＋(m－1)x＋2 中有参变量 m]应用分类讨论，往往能使 复杂问题简单化，解题思路清晰，步骤明了．
【跟踪训练】 1.如图27-3所示,在△ABC中,AB=8,AC=6,点D 在AB边上,且AD=4,在AC上取一点P,使以A,P,D为 顶点的三角形与△ABC相似.求AP的长 图27-3
【跟踪训练】 1．如图 27-3 所示，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6，点 D 在 AB 边上，且 AD＝4，在 AC 上取一点 P，使以 A，P，D 为 顶点的三角形与△ABC 相似．求 AP 的长． 图 27-3
解:分两种情况讨论: AD AP (1)当∠ADP=∠B时,△ADPO△ABC,AB=AC 4 AP AP=3 (2)当∠ADP=∠C时,△APD∽△ABC,ADAP AC AB 4 AP 16 68 AP- 因此AP=3或AP
解：分两种情况讨论： (1)当∠ADP＝∠B 时，△ADP∽△ABC， AD AB＝ AP AC， ∴ 4 8＝ AP 6 .∴AP＝3. (2)当∠ADP＝∠C 时，△APD∽△ABC， AD AC＝ AP AB， ∴ 4 6＝ AP 8 .∴AP＝ 16 3 . 因此 AP＝3 或 AP＝ 16 3