故其净电荷和总电偶极矩均为零．但它有四极矩.例如CO2分子.令其沿z轴排列，据(2.18)式，并由各个电荷q的坐标，有 =3== = 3(-q)/ +0 + 3(-q)(-I)(-I)=-6ql =-6plk=其中p=ql.其它分量①,=0.于是由(2.15)式，得远处的电势10.a2 1-6pl-(322-R2)p(2) (x) =0zR-24元8R524元。-pl4ne, R: (3cos'0-1)电场为00(2)+1 0p(2)E =-Vβ(2) =eeeRaRRa-pl-[3(3cos?0-1)eR+6cos(sinQe]4元8R4电势和电场分布有z轴对称性例6.求均勾带电的旋转椭球远处的电势，准确至四极项.（教材P68）【解】例如，原子核的形变使它有一定的电四极矩，一个经典模型是把它看成旋转椭球.设总电荷为9，并令长半轴a沿z轴，短半轴b在xy平面.电荷体密度为p=3q/4mab2.电荷分布便有z轴对称性，也有关于坐标原点的对称性，故电偶极矩p=0.椭球面方程为*2x'2+y"2(1)b2a2为便于计算四极矩，作坐标变换(2)x'=bx，y'=by，2' = az于是(1)式变为半径r=1的单位球面方程：x? +y2 +2? =1(3)其中x=rsinocos，y=rsinasing，z=rcosa.即电荷分布点的坐标和体积元为x'=br singcosg,y'=br sinのsing,z'=rcos@0≤rsl,0≤0≤元,0≤≤2元6
故其净电荷和总电偶极矩均为零. 但它有四极矩.例如 CO2 分子.令其沿 z 轴排 列,据(2.18)式,并由各个电荷qk 的坐标,有 k 3(- lqzzq plqlllq k zz 3 kk 66)())(3(0) 2 2 3 1 = ∑ ′′ ++= −=−= = D - 其中 = qlp .其它分量Dij = 0 .于是由(2.15)式,得远处的电势 )13cos( 4 )3( 24 61 24 1 0 0 πε πε R - pl )( 2 3 22 5 0 2 2 (2) = − = − ∂ ∂ = θ πε ϕ Rz R pl z R zz - x D 电场为 ]sin6cos)13cos(3[ 4 ] 1 [ 2 4 0 2( πε ϕ R pl )2( )2( ) θ θ θ θθ θ ϕ ϕ e e E e e = +− ∂ ∂ + ∂ ∂ −=−∇= R R RR - 电势和电场分布有 z 轴对称性. 例 6.求均匀带电的旋转椭球远处的电势，准确至四极项.（教材 P68） 【解】例如,原子核的形变使它有一定的电四极矩，一个经典模型是把它看 成旋转椭球.设总电荷为 q,并令长半轴 a 沿 z 轴,短半轴 b 在 xy 平面.电荷体密 度为 .电荷分布便有 z 轴对称性,也有关于坐标原点的对称性,故电偶 极矩 .椭球面方程为 2 = /43 πρ abq p = 0 1 2 2 2 2 2 x′ x′ = = ′ + + ′ a z b y (1) 为便于计算四极矩,作坐标变换 bx , ′ = byy , ′ = azz (2) 于是(1)式变为半径r = 1的单位球面方程: 1 (3) 222 x zy =++ 其中 = rx θ cossin φ , = ry θ sinsin φ , = rz cosθ .即电荷分布点的坐标和体积元为 ′ = rbx θ cossin φ , ′ = rby θ sinsin φ , ′ = rz cosθ r ≤≤ 10 , 0 ≤ θ ≤ π , ≤ φ ≤ 20 π 6
dy'= dx'd y'd'=abr? sin @drdedp由于z轴对称性(旋转对称性),有J,xxfdv'=0,当itjJe"av'=a'bl'r'drl, cos'sinaiof" d - 4mb?15Jx°a'-f yra- 4ab15利用9, =J,(3xx, -r"28,)pdV',9+9+9_ =0得0 =J,(3"2 -r")pV"= 2p],(2"2 - x*2)dV"= 29(a"-6b")5-0, =-9(a"-6),,=0，当j①x=の,=-5四极项电势为a?111@(2) (x)24元8axxR02021a21.1G0221ay?ax?24元0R1[(3x2 - R°) +(3y2 -R3) +(32? - R?)9]24元6Rs= g(a2 -b3)(3cos° 0 -1)40元R该系统在远处的电势为0(x)=0(0) +g(2) =_9+ (@(2)4元0R当α=b时就是均匀带电球，此时只有单极势(0)=q/4元6oR.2.3静电能外电场对电荷体系的作用能电荷体系的静电能各向同性线性均匀介质内静电能量密度为w=E·D/2，7
d ddd dddsin φθθ 22 ′ = ′′′ = rrabzyxV 由于 z 轴对称性(旋转对称性),有 ′′′ = 0d ∫V ji Vxx , 当 ≠ ji 15 4 d ddsincosd 23 1 0 0 2 0 2 423 2 ba rrbaVz V π φθθθ π π ′′ = = ∫ ∫∫ ∫ 15 4 d d 4 2 2 ab VyVx V V π ′′ = ′′ = ∫∫ 利用 ∫ = ′′ − ′′ V ij 3( j ij d) Vrxx 2 D ρδ , D + +DD zzyyxx = 0 得 5 )(2 )d(2d)3( 22 22 22 baq VxzVrz V V zz - = - ′′′ = - ′′′ = ∫ ∫ D ρρ 5 )( 2 1 22 baq yyxx zz - D - DD −=== ； Dij = 0，当 ≠ ji 四极项电势为 )1cos3( 40 )( ])(3)(3)[(3 24 1 1 [ ] 24 1 1 24 1 )( 2 3 0 22 22 22 22 5 0 2 2 2 2 2 2 0 3 2 0 1, (2) − − = = + + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂∂ ∂ = ∑= θ πε πε πε πε ϕ R baq Rx Ry Rz R zyx R Rxx xx yy zz xx yy zz ji ji ij D D D DDD D - - - x 该系统在远处的电势为 (2) 0 (2)(0) 4 )( ϕ πε ϕϕϕ +=+= R q x 当 = ba 时就是均匀带电球，此时只有单极势 0Rq/ . (0) ϕ = 4πε 2.3 静电能 外电场对电荷体系的作用能 电荷体系的静电能 各向同性线性均匀介质内静电能量密度为 w ⋅= DE /2 , 7
其中D=E.真空中D=6E.由于电场一般地分布于全空间，因此电荷系统的总静电能，是电场所有分布区域内的能量之和，即总能量一般地由积分W-I.JE Dav(2.24)给出.由V·D=Pr，E=-V，总静电能量也可由下式计算：W=[Prodl(2.25)积分体积V为电荷分布区域例7.电荷q均匀分布于半径为a的球面，求总静电能量.（教材P42,例3)【解】球面电荷密度为α=q/4元a2.球对称电荷分布产生球对称电场.由高斯定理可得E=-qRq当RZa0=4元EOR46OR3q当R<aE=0,9=4元50a电荷只分布于球面，此处电势为常数β=q/4元8oa.故总静电能量为"00-4na*=-W-flois-28元600或者，由于球内电场E=0，电场及其能量分布于球外空间，总静电能量q-a-raraW=[:8元60a带电体的静电场总是与其电荷不可分离.因此带电粒子的静电场能量，属于粒子的自能量.由质能关系W=mc2可知，带电粒子的静止质量m必定包含着电磁质量对于电子，经典理论中的一个假定是：它的电荷-e分布于半径为a的球面，于是由W=m.c?=e?/8元6oa，得出电子的“经典半径”：e2~10-15ma-8元60m.c?但实验显示，直到10-18m的尺度，电子仍然像“点粒子”.因此上述关于电子电荷分布的假定，以及由此得出的所谓电子“经典半径”，根本不能反映电子内部的真实结构8
其中 D = εE .真空中 = ε 0ED .由于电场一般地分布于全空间,因此电荷系统的总 静电能,是电场所有分布区域内的能量之和,即总能量一般地由积分 W dV 2 1 ⋅= DE ∫∞ (2.24) 给出.由 = ρ f ⋅∇ D , E -∇= ϕ ,总静电能量也可由下式计算： W V V d 2 1 fϕρ ∫ = (2.25) 积分体积V 为电荷分布区域. 例 7．电荷 q 均匀分布于半径为 a 的球面,求总静电能量.(教材 P42,例 3) 【解】球面电荷密度为 .球对称电荷分布产生球对称电场.由高斯 定理可得 2 σ = /4πaq 3 0 4 q πε E = R R , R q 4 0 ε ϕ π = 当 ≥ aR ， a q 4 0 ε ϕ π E = 0 = 当 < aR 电荷只分布于球面,此处电势为常数ϕ = 4/q πε 0 a .故总静电能量为 a q S a S 0 2 2 8 4 2 1 d 2 1 ε σϕ σϕ π =π⋅= ∫ W = 或者,由于球内电场 E = 0 ,电场及其能量分布于球外空间,总静电能量 a q RR R q W VE V a 0 2 2 2 0 0 2 0 8 dd) 4 ( 2 1 d 2 1 πε Ω πε = ε = ε = ∫ ∫ ∫ ∞ 带电体的静电场总是与其电荷不可分离.因此带电粒子的静电场能量,属于粒子 的自能量.由质能关系 可知,带电粒子的静止质量 必定包含着电磁质量. 对于电子,经典理论中的一个假定是:它的电荷 2 = mcW m −e 分布于半径为a的球面,于是由 W = ecm / 8πε 0 a ,得出电子的“经典半径”: 22 e = m10~ 8π 15 2 e0 2 − = cm e a ε 但实验显示，直到 的尺度,电子仍然像“点粒子”.因此上述关于电子电荷 分布的假定,以及由此得出的所谓电子“经典半径”,根本不能反映电子内部的 真实结构. m10−18 8