例5以下两种说法在一般情形下为什么是错的？(i)既然说开域是“非空连通开集”，那么闭域就是“非空连通闭集”；(ii)要判别一个点集D是否是闭域，只要看其去除边界后所得的是否为一开域，即“若D\aD为开域，则D必为闭域”答(i)例如取 S=((x,y)/xy≥0),这是一个非空连通闭集.但因它是前面(5)式所示的集合G与其边界(二坐标轴)的并集(即S=GUaG),而G不是返回前页后页
前页 后页 返回 例5 以下两种说法在一般情形下为什么是错的? (i) 既然说开域是“非空连通开集”，那么闭域就是 “非空连通闭集”； (ii) 要判别一个点集 D 是否是闭域, 只要看其去除 边界后所得的是否为一开域, 即 “若 为开域,则 必为闭域”. D D D \ 答 (i) 例如取 S x y xy = ( , ) | 0 , 这是一个非空连 通闭集. 但因它是前面 (5) 式所示的集合 G 与其边 界 (二坐标轴) 的并集 (即 S G G = ), 而 G 不是
开域，故S不是闭域(不符合闭域的定义)(ii) 如图16 -6 所示,(a)中的点集为 D;(b)中的点集为E=DlaD；(c)中的点集为 F=EUaE.易见EDF(a)(b)(c)图 16 - 6E为一开域，据定义F则为闭域；然而D+EUaE=F后页返回前页
前页 后页 返回 开域, 故 S 不是闭域 (不符合闭域的定义). D E F (a) (b) (c) 图 16 – 6 (ii) 如图16 – 6 所示, 集为 E D D = \ ; (c)中的点集为 F E E = . 易见 E 为一开域, 据定义 F 则为闭域；然而 D E E F = , (a)中的点集为 D; (b)中的点
显然不符合它为闭域的定义由此又可见到：?(DIaD)与aD不一定相同二、R上的完备性定理反映实数※平面点列的收敛性定义及柯西准则系完备性的几个等价定理，构成了一元函数极限理论的基础.现在把这些定理推广到R，它们同样是二元函数极限理论的基础后页返回前页
前页 后页 返回 显然不符合它为闭域的定义. 由此又可见到: ( \ ) . D D D 与 不一定相同 二、R 2上的完备性定理 ※ 平面点列的收敛性定义及柯西准则 反映实数 系完备性的几个等价定理, 构成了一元函数极限理 论的基础. 现在把这些定理推广到 R 2 , 它们同样是 二元函数极限理论的基础
定义1设{P,}cR"为一列点,P,R2为一固定点若V>0,NN+,使当n>N时,P,U(P;),则称点列（P}收敛于点Po，记作lim P, = P 或 Pn→ P(n→oo)n→当 P,与 P, 分别为(xn,yn)与(xo,Jo)时,显然有lim Pn = Po 台 lim Xn = Xo 且 lim n = yo;n→8n→8n→若记 pn=p(Pn,P),同样地有lim Pn = P lim Pn = 0.n→8n→80前页后页返回
前页 后页 返回 2 { } R P n 2 定义1 设 为一列点, P0 R 为一固定点. 0 0, N , , ( ; ), N n N P U P n 若 使当 时 + 则称点列 { Pn } 收敛于点 P0 , 记作 0 0 lim ( ). n n n P P P P n → = → → 或 0 0 0 ( , ) ( , ) , 当 与 分别为 与 时 显然有 P P x y x y n n n 0 0 0 lim lim lim ; n n n n n n P P x x y y 且 → → → = = = 0 ( , ), 若记 n n = P P 同样地有 0 lim lim 0. n n n n P P → → = =
由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限，因此立即得到下述关于平面点列的收敛原理定理16.1(柯西准则）(P,)cR2收敛的充要条件是：Vε>0,3NeN,使当 n>N时,都有(6)p(Pn, Pn+p)<&, Vpe N+.证（必要性）设 lim P,= P，则由定义1,Vε>0,n→0ENN+，当n>N(也有n+p>N)时,恒有Plb,spomnsD后页返回前页
前页 后页 返回 由于点列极限的这两种等价形式都是数列极限, 因 此立即得到下述关于平面点列的收敛原理. 定理16.1(柯西准则) 2 { } R P n 收敛的充要条件是: 0, N , , N n N + 使当 时 都有 ( , ) , N . (6) P P p n n p + + 证（必要性） 0 lim , 1, 0, n n 设 则由定义 P P → = + N n N n p N N , ( ) + 当 也有 时, 恒有 0 0 ( , ) , ( , ) . 2 2 P P P P n n p +