应用三角形不等式，立刻得到p(Pn, Pn+p) ≤p(Pn, P)+ p(Pn+p, P) <&.(充分性)当(6)式成立时，同时有1xn+p -x, /≤ p(Pn, Pn+p)<8,I yn+p - yn /<≤ p(Pn, Pn+p)<c.这说明（xn}和（yn）都满足关于数列的柯西准则所以它们都收敛.设 lim xn= Xo,lim yn=yo，从而n→>oon>00由点列收敛概念,推知(Pn} 收敛于点 Po(xo,yo)后页返回前页
前页 后页 返回 应用三角形不等式, 立刻得到 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) . P P P P P P n n p n n p + + + (充分性) 当 (6) 式成立时, 同时有 | | ( , ) , n p n n n p x x P P + + − | | ( , ) . n p n n n p y y P P + + − 这说明 { xn } 和 { yn } 都满足关于数列的柯西准则, 所以它们都收敛. 0 0 lim , lim , n n n n 设 从而 x x y y → → = = 由点列收敛概念, 推知 { Pn } 收敛于点 P0 (x0 , y0 )
例6 P为E的聚点台存在各项互异的(P}cE,使得 lim Pn= P·n→00（这是一个重要命题，证明留作习题）※下述区域套定理，是区间套定理在R上的推广设(D}是R2中的一列闭定理16.2（闭域套定理）域，它满足：(i) D, Dn+1, n= 1, 2, ...;(ii) dn = d(Dn), lim d, = 0.n→0后页返回前页
前页 后页 返回 0 6 { } , 例 P E P E 为 的聚点 存在各项互异的 n 0 lim . n n 使得 P P → = ( 这是一个重要命题, 证明留作习题.) ※ 下述区域套定理, 是区间套定理在 R 2 上的推广. 定理16.2(闭域套定理) 设 { Dn } 是 R 2 中的一列闭 域, 它满足： 1 (i) , 1, 2, ; D D n n n = + (ii) ( ), lim 0. n n n n d d D d → = =
则存在惟一的点Po e Dn, n= 1, 2, ...证如图16－7所示，任取点列DnDn+pP, e Dn, n=1, 2,....由于 Dn+,C D,,因此'Pn+p.P, Pa+, e D,P从而有图 16 - 7p(Pn, Pn+p) ≤ dn → 0, n →>00.由柯西准则知道存在 PεR’,使得后页返回前页
前页 后页 返回 图 16 – 7 Dn • • Dn p + • Pn Pn p + P0 则存在惟一的点 0 , 1, 2, . P D n = n 证 如图16 – 7所示, 任取点列 , 1, 2, . P D n n n = , 由于 因此 D D n p n + , , P P D n n p n + 从而有 ( , ) 0, . P P d n n n p n + → → 由柯西准则知道存在 2 P0 R , 使得
lim Pn = Po.n→00任意取定 n,对任何正整数 p,有 Puβe Dn+pD,n+p再令p→，由于D,是闭域,故必定是闭集，因此D,的聚点必定属于Dn，则得P, = lim Pn+p e Dn, n = , 2,..p-→8最后证明 P。的惟一性.若还有 P Dn,n =1,2,…则由p(Po, P)≤ p(Po, Pn)+ p(P, Pn)≤2dn → 0, n → 00,得到 p(P, P)= 0, 即 P,= P后页返回前页
前页 后页 返回 任意取定 n, 对任何正整数 p, 有 . P D D n p n p n + + 再令 p → , 由于 Dn 是闭域, 故必定是闭集, 因此 Dn 的聚点必定属于 Dn , 则得 0 lim , 1, 2, . n p n p P P D n + → = = P0 0 , 1, 2, , P D n n 最后证明 的惟一性. 若还有 = 则由 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 2 0, , P P P P P P d n n n n + → → 0 0 0 0 得到 即 ( , ) 0, . P P P P = = 0 lim . n n P P → =
推论 对上述闭域套(Dn}，V>0,3NeN+,当n> N时, D, CU(P;ε)注 把（D}改为闭集套时,上面的命题同样成立。定理16.3(聚点定理)若ER2为有界无限点集,则E在R中至少有一个聚点证现用闭域套定理来证明.由于E有界，因此存在一个闭正方形 D, E.如图 16-8 所示，把 D1分成四个相同的小正方形，则在其中至少有一小闭正方形含有E中无限多个点，把它记为D.再对后页返回前页
前页 后页 返回 推论 对上述闭域套 { Dn }, 0, N , N n + 当 注 把 { Dn } 改为闭集套时, 上面的命题同样成立. 定理16.3(聚点定理) 若 2 E R 为有界无限点集, 则 E 在 R 2 中至少有一个聚点. 证 现用闭域套定理来证明. 由于 E 有界, 因此存 在一个闭正方形 D E 1 . 如图 16 – 8 所示, 把 D1 分成四个相同的小正方形, 则在其中至少有一小闭 正方形含有 E 中无限多个点, 把它记为 D2 . 再对 0 , ( ; ). N D U P n 时