※举例讨论上述点集的性质U°(xo;8)例3 证明:对任何 ScR2Xoas恒为闭集yS证如图16-4所示，设XoU(y;8)为s的任一聚点，欲证as图16- 4XoEaS（即xo亦为S的界点）.为此Vε>0,由聚点定义，存在yeU(xo; e)nos.再由为界点的定义，U(y;S)U(xo;ε),在后页返回前页
前页 后页 返回 ※ 举例讨论上述点集的性质 例3 证明: 对任何 2 S R , S 恒为闭集. 证 如图16 – 4 所示, 设 0 x 为 S 的任一聚点，欲证 x0S （即 x0 亦为 S 的界 点）. 为此 0, 由聚点定义，存在 0 y U x S ( ; ) . S S 0 x 0 U x( ; ) U y( ; ) y 图 16 –４ y 0 再由 为界点的定义, U y U x ( ; ) ( ; ) , 在
U(y;8)内既有S的点,又有非 S的点.由此推知在U(xo;)内既有 S 的点,又有非 S的点.所以,由 ε的任意性,xo为 S的界点,即 xoε?S,也就证得 as为闭集.注 类似地可以证明:对任何点集 ScR2,导集 Sd亦恒为闭集.（留作习题）*例4设ER.试证E为闭集的充要条件是：E=EUaE 或 E°=int(E)后页返回前页
前页 后页 返回 U y( ; ) 内既有 S 的点, 又有非 S 的点. 由此推知在 x0 S 0 的任意性, 为 的界点, 即 x S , 也就证得 S 为闭集． 注 类似地可以证明: 对任何点集 2 d S S R , 导集 亦恒为闭集. ( 留作习题 ) 2 例4 设 E R . 试证 E 为闭集的充要条件是： c int ( ). c E E E E E = = 或 U x( ; ) 0 内既有 S 的点, 又有非 S 的点. 所以, 由
证下面按循环流程图16-5来分别作出证明2?E=EUEdE= E°=int(E)E=EUaEU③企1图16-5①已知E为闭集（即E=EUE),欲证E=-EUoE.为此VpE?E,p或是E的聚点,或是 E的孤立点.若pe E',则由 EE,得pe E;而孤立点必属于E；从而aEcE，故EUaEcE.反之显然有返回前页后页
前页 后页 返回 证 下面按循环流程图16 – 5 来分别作出证明. d ① 已知 E 为闭集( 即 E E E = ),欲证 E E E = . 为此 或是 的聚点 或是 的孤立点. p E p E E , , d d 若 ，则由 得 ；而孤立点必属 p E E E p E , 于 ；从而 ，故 E E E E E E . 反之显然有 d c c E E E E E E E E = = = int( ) ① ② ③ 图 16 – 5
EcEUaE.综合起来，便证得 E=int EUaE.② 已知 E=EUaE,欲证E°=int(E°).为此VpeE,则p史E,而由aEcE,故p必为E的外点,按定义,S>0,使 U(p;)nE=の. 从而U(p;)E,故p是E°的内点,即E°c int(E')反之显然有 int(E°)CE℃.这就证得 E°=int(E°).③已知 E°=int(E°),欲证 E=EUEd.为此 VpE'，据条件可证 pεE（若不然,pεE°,从而由条件推知pint(E),故S>0,使U(p;)E后页返回前页
前页 后页 返回 E E E . 综合起来, 便证得 E E E = int . E E E = ， c int ( ). c ② 已知 欲证 E E = 为此 c p E p E E E p E , , , 则 而由 故 必为 的 外点, 按定义 使 从而 , 0, ( ; ) . = U p E c c c c U p E p E E E ( ; ) , , int( ). 故 是 的内点 即 c c c c 反之显然 有 这就证得 int( ) . int( ). E E E E = ③ c c d 已知 欲证 为此 E E E E E = = int( ), . p c 据条件可证 若不然 从而由 p E p E ( , , d E , c c 条件推知 故 使 p E U p E int( ), > 0, ( ; ) ,
与 p为E的聚点相矛盾),故 E’c E.这就证得E-EUEd.注此例指出了如下两个重要结论：(i)闭集也可用E=EUaE”来定义（只是使用起来一般不如E=EUEd”方便，因为有关聚点“有许多便于应用的性质)闭集的余集为开(i)闭集与开集具有对偶性质集；开集的余集为闭集.利用此性质，有时可以通过讨论E来认识E后页返回前页
前页 后页 返回 d 与 为 的聚点相矛盾 故 这就证得 p E E E ), . 注 此例指出了如下两个重要结论: (i) 闭集也可用 “ E E E = ”来定义 ( 只是使用 起来一般不如 “ d E E E = ”方便, 因为有关聚点 有许多便于应用的性质 )． d E E E = . (ii) 闭集与开集具有对偶性质——闭集的余集为开 集; 开集的余集为闭集. 利用此性质, 有时可以通 过讨论 来认识 E. c E